概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一i.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行；(2)每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S:E的所有可能结果组成的集合.样本点(基本事件):E的每个结果.随机事件(事件):样本空间S的子集.必然事件(S)：每次试验中一定发生的事件.不可能事件():每次试验中一定不会发生的事件.二.事件间的关系和运算1. AB(事件B包含事件A)事件A发生必然导致事件B发生.2. AUB(和事件)事件A与B至少有一个发生.3. AAB=AB(积事件)事件A与B同时发生.4. A-B(差事件)事件A发生而B不发生.5. AB=(A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.6. AB=且AUB=S(A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生.B=A,A=B.运算规则交换律结合律分配律德？摩根律ABABABAB三 .概率的定义与性质1 .定义对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A),称为事件A的概率.(1)非负性P(A)0；(2)归一性或规范性P(S)=1;(3)可列可加性对于两两互不相容的事件Ai,A2,-(AiAj=0,i?j,i,j=1,2,)，P(AiUA2U尸P(Ai)+P(A2)+.2 .性质(1) P()=0,注意：A为不可能事件.xP(A)=O.有限可加性对于n个两两互不相容的事件Ai,A2,An,P(AlUA2UUAn尸P(Al)+P(A2)+P(An)(有限可加性与可列可加性合称加法定理)(3)若AB,则P(A)P(B),P(B-A尸P(B)-P(A).(4)对于任一事件A,P(A)0).2 .乘法定理P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)0);P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)0).PH1A2An尸P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(ANA1A2An-1)(nA2,PH1A2An-1)0)3 .B1,B2,Bn是样本空间S的一个划分(BiBj=d,i?j,i,j=1,2,n,B1UB2UUBn=S),则P Bi P ABin P Bi P ABi i 1n当P(Bi)0时,有全概率公式P(A)=PBiPABii1PAB,当P(A)0,P(Bi)0时,有贝叶斯公式P(Bi|A)=PiPA六.事件的独立性1 .两个事件A,B,满足P(AB)=P(A)P(B)时，称A,B为相互独立的事件(1)两个事件A,B相互独立P(B)=P(B|A).(2)若A与B,A与B,A与B,A与B中有一对相互独立，则另外三对也相互独立.2 .三个事件A,B,C满足P(AB)=P(A)P(B),P(AC尸P(A)P(C),P(BC尸P(B)P(C),称A,B,C三事件两两相互独立.若再满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称A,B,C三事件相互独立.3 .n个事件Ai,A2,An,如果对任意k(1kwn),任意1wiii2ii占n.有PAiiAi2人卜PAiiPAi2PAik,则称这n个事件Ai,A2,An相互独立.第二章随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1 .在随机试验E的样本空间S=e上定义的单值实值函数X=X(e)称为随机变量.2 .随机变量X的分布函数F(x)=PXx,x是任意实数.其性质为：(1)0F(x)1-#0=0,F(8)=1.(2)F(x)单调不减，即若xiX2，则F(xi)WF(X).(3)F(x)右连续，即F(x+0)=F(x).(4)PxiXx?=F(x2)-F(Xi).二 .离散型随机变量(只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1 .离散型随机变量的分布律PX=xk=pk(k=1,2,)也可以列表表示.其性质为：(1)非负性0WPkW1;(2)归一性pk1.k12 .离散型随机变量的分布函数F(x)=Pk为阶梯函数，它在x=xk(k=1,2,)处具有跳跃点，Xkx其跳跃值为pk=PX=xk.3 .三种重要的离散型随机变量的分布(1)X(0-1)分布PX=1=p,PX=0=1p(0p1).(2)Xb(n,p)参数为n,p的二项分布PX=k=pk1pnk(k=0,1,2，,n)(0p0)k!三 .连续型随机变量1 .定义如果随机变量X的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=xftdt,-svxvs,则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率密度(函数).2 .概率密度的性质非负性f(x)0;(2)归一性f(x)dx=1;PxiX0).(3)XN ( , 2)参数为，的正态分布f(x)(X )22 2- x0.t2特别，=0,2=1时，称X服从标准正态分布，记为XN(0,1)，其概率密度11Y二(x)-y=e2,标准正态分布函数(x)=e2dt,(-x)=1-(x).XXc).若XN(,2),则2=N(0,1),Pxiz=PZz/2=，则点z广z,z/2分别称为标准正态分布的上，下,双侧分位点.注意：(z尸1-,z1-=-z.四.随机变量X的函数Y=g(X)的分布1.离散型随机变量的函数Xx1X2xkpkP1P2PkY=g(X)g(X1)g(X2)g(xk)若g(xk)(k=1,2,)的值全不相等，则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(xk)(k=1,2,)的值有相等的，则应将相等的值的概率相加，才能得到Y=g(X)的分布律.2.连续型随机变量的函数若X的概率密度为fx(x)，则求其函数Y=g(X)的概率密度fY(y)常用两种方法:(1)分布函数法先求Y的分布函数FY(y尸PYWy=Pg(X)y=fxxdxkky其中k(y)是与g(X)0(或g/(x)0)，则Y=g(X)是连续型随机变量淇概率密度为fY yfX h y h yoy其它其中h(y)是g(x)的反函数,=min(g(-),g()=max(g(-),g().如果f(x)在有限区间a,b以外等于零，则=min(g(a),g(b)=max(g(a),g(b).第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1 .定义若X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量，则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=PXwx,Ywy称为(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数.2 .分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x和y单调不减.(2)0F(x,y)1,F(x,-)=0,F(-,y)=0,F(-,-)=0,F(,)=1.(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的，即F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).(4)对于任意实数x1x2,yiy2PxiXx2,yiYy2=F(x2,y2)-F(x2,yi)-F(xi,y2)+F(xi,yi)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1 .定义若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(xi,yj)(i,j=1,2,)称叱,丫)为二维离散型随机变量.并称PX=xi,Y=yj=pij为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2 .性质(1)非负性0Wpij0.(2)归一性若f(x,y)在点(x,y)连续，则f(x,y)F(x,y)xy若G为xoy平面上一个区域，则P(x,y)Gf(x,y)dxdy.G四.边缘分布1. (X,Y)关于X的边缘分布函数Fx (x) = PX x , Y = F (x ,).(X,Y)关于Y的边缘分布函数Fy (y) = PX , Y0,则称PXxi,YyjppyyjPX=xi|Y=yj为在Y=y