六六老师数学网专用资料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel：153273761179. 3全微分及其应用授课次序54教 学 基 本 指 标教学课题9. 3全微分及其应用教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点全微分教学难点可微分的条件参考教材同济大学编高等数学（第6版）自编教材高等数学习题课教程作业布置高等数学标准化作业双语教学函数：function；极限：limit；极限值：limit value ；导数：derivative；偏导数：partial derivative；微分：differential calculus；全微分：total differential；偏微分：partial differential；课堂教学目标1 理解多元函数全微分的概念，会求全微分，2 了解全微分存在的必要条件和充分条件，3 了解全微分在近似计算中的应用。教学过程1高阶偏导数（25min）；2全微分的概念（20min）；3全微分存在的必要条件和充分条件（35min）4全微分在近似计算中的应用（10min）教 学 基 本 内 容9. 3全微分及其应用一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 偏增量与偏微分: f(x+Dx, y)-f(x, y)fx(x, y)Dx, f(x+Dx, y)-f(x, y)为函数对x的偏增量, f x(x, y)Dx为函数对x的偏微分; f(x, y+Dy)-f(x, y)fy(x, y)Dy, f(x, y+Dy)-f(x, y)为函数对y的偏增量, f y(x, y)Dy为函数对y的偏微分. 全增量: Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y). 计算全增量比较复杂, 我们希望用Dx、Dy的线性函数来近似代替之. 定义 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)的全增量Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y) 可表示为 , 其中A、B不依赖于Dx、Dy 而仅与x、y 有关, 则称函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 而称ADx+BDy为函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分, 记作dz, 即dz=ADx+BDy. 如果函数在区域D内各点处都可微分, 那么称这函数在D内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续. 这是因为, 如果z=f(x, y)在点(x, y)可微, 则 Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y)=ADx+BDy+o(r),于是 , 从而 . 因此函数z=f(x, y)在点(x, y)处连续. 可微条件: 定理1(必要条件) 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该点的偏导数、必定存在, 且函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分为 . 证 设函数z=f(x, y)在点P(x, y)可微分. 于是, 对于点P的某个邻域内的任意一点P (x+Dx, y+Dy), 有Dz=ADx+BDy+o(r). 特别当Dy=0时有f (x+Dx, y)-f(x, y)=ADx+o(|Dx|). 上式两边各除以Dx, 再令Dx0而取极限, 就得, 从而偏导数存在, 且. 同理可证偏导数存在, 且. 所以 . 简要证明: 设函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分. 于是有Dz=ADx+BDy+o(r). 特别当Dy=0时有f (x+Dx, y)-f(x, y)=ADx+o(|Dx|). 上式两边各除以Dx, 再令Dx0而取极限, 就得 , 从而存在, 且. 同理存在, 且. 所以. 偏导数、存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件. 例如, 函数在点(0, 0)处虽然有f x(0, 0)=0及f y(0, 0)=0, 但函数在(0, 0)不可微分, 即Dz-fx(0, 0)Dx+fy(0, 0)Dy不是较r高阶的无穷小. 这是因为当(Dx, Dy)沿直线y=x趋于(0, 0)时, . 定理2(充分条件) 如果函数z=f(x, y)的偏导数、在点(x, y)连续, 则函数在该点可微分. 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数. 按着习惯, Dx、Dy分别记作dx、dy, 并分别称为自变量的微分, 则函数z=f(x, y)的全微分可写作 . 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u=f (x, y, z) 的全微分为 . 例1 计算函数z=x2y +y2的全微分. 例2 计算函数z=exy在点(2, 1)处的全微分. 例3 计算函数的全微分.备注栏教学后记9. 3全微分及其应用 第 1 页 共 3 页