基础落实必备知识全过关重难探究能力素养全提升目录索引成果验收课堂达标检测课程标准1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解奇函数、偶函数图象的特征.3.会判断(或证明)函数的奇偶性.基础落实必备知识全过关知识点1奇、偶函数的定义函数奇函数偶函数条件一般地,设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的xA,有-xA,且说明集合A是关于原点对称的f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)结论称函数f(x)为奇函数称函数f(x)为偶函数图象特征图象关于原点对称图象关于y轴对称定义域特征奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称注:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性.奇偶性是函数的整体性质名师点睛1.判断函数的奇偶性要“二看”(1)一看定义域.定义域A要关于原点对称,即对任意xA,-xA,定义域不关于原点对称时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.如f(x)=x2,xR是偶函数,但f(x)=x2,x-1,2既不是奇函数,也不是偶函数.(2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系:f(-x)=f(x)f(x)是偶函数;f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数;f(-x)f(x)f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;f(-x)=f(x)f(x)既是奇函数,也是偶函数.2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论:f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)g(x)fg(x)偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定奇偶性奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数注意:上述表格中不考虑f(x)g(x)=0.fg(x)中,需xG,g(x)F.过关自诊1.人教A版教材习题已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图补充完整.解补充后图象如图所示.2.人教A版教材习题判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=2x4+3x2;(2)f(x)=x3-2x.解(1)函数f(x)=2x4+3x2的定义域为R,因为对定义域内的每一个x,都有f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=f(x),所以f(x)=2x4+3x2为偶函数.(2)函数f(x)=x3-2x的定义域为R.因为对定义域内的每一个x,都有f(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-(x3-2x)=-f(x),所以f(x)=x3-2x为奇函数.3.人教A版教材习题(1)从偶函数的定义出发,证明函数y=f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;(2)从奇函数的定义出发,证明函数y=f(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.证明(1)充分性:若y=f(x)的图象关于y轴对称,设M(x0,f(x0)为图象上任意一点,则M关于y轴的对称点M(-x0,f(x0)仍在该图象上,即f(-x0)=f(x0).所以y=f(x)为偶函数.必要性:若y=f(x)为偶函数,设M(x0,f(x0)为f(x)图象上任意一点,M关于y轴的对称点为M(-x0,f(x0),因为y=f(x)为偶函数,所以f(x0)=f(-x0).所以M(-x0,f(-x0)在y=f(x)的图象上,所以y=f(x)的图象关于y轴对称.(2)充分性:若y=f(x)的图象关于原点对称,设M(x0,f(x0)为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点M(-x0,-f(x0)仍在该图象上,所以f(-x0)=-f(x0),所以y=f(x)为奇函数.必要性:若y=f(x)为奇函数,设M(x0,f(x0)为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点为M(-x0,-f(x0).因为y=f(x)为奇函数,所以-f(x0)=f(-x0),所以M(-x0,f(-x0)在y=f(x)的图象上,所以y=f(x)的图象关于原点对称.知识点2函数奇偶性与单调性的关系1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上取得的最值互为相反数,取得最值时的自变量的值也互为相反数.名师点睛1.奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,是研究函数值在某一区间内的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,是研究函数图象在整个定义域上的对称性.2.研究函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要,如果一个函数是奇函数或是偶函数,根据它的图象关于坐标原点对称或关于y轴对称的性质,只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,由函数在其中一部分上的图象和性质,即可推断出它在整个定义域内的图象和性质.而研究该函数其中一部分图象的情况,就得研究其函数值的变化,这将研究其单调性,只有把这两种性质结合在一起才能更好地了解函数的特征.过关自诊1.函数f(x)是定义在-6,6上的偶函数且在-6,0上单调递减,则一定有()A.f(3)+f(4)0B.f(-3)-f(-2)0D.f(-2)+f(-5)f(-1),f(-3)f(-2),f(4)f(-1),f(4)-f(-1)0,f(-3)-f(-2)0,故C正确,B错误.又无法确定f(3),f(4),f(-2),f(-5)的正负.故选C.2.若奇函数f(x)在(-,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0,+)上有()B3.人教A版教材习题已知函数f(x)是偶函数,而且在(0,+)上单调递减,判断f(x)在(-,0)上单调递增还是单调递减,并证明你的判断.解f(x)在(-,0)上单调递增.证明如下:任取x1x2-x20.因为f(x)在(0,+)上单调递减,所以f(-x1)f(-x2).因为f(x)是偶函数,所以f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),所以f(x1)0时,-x0,f(-x)=-x1-(-x)=-x(1+x)=-f(x).当x0,f(-x)=(-x)1+(-x)=-x(1-x)=-f(x).f(-x)=-f(x).f(x)是奇函数.规律方法规律方法判断函数奇偶性的两种方法1.定义法:2.图象法:变式训练判断下列函数的奇偶性:(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;(3)f(x)=0.解(1)f(x)的定义域是R,且对任意的xR,有f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)f(x)的定义域是R,且对任意的xR,有f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.(3)因为f(x)的定义域为R,且对任意的xR,有f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),所以f(x)既是奇函数,也是偶函数.探究点二利用函数的奇偶性求解析式探究点二利用函数的奇偶性求解析式【例2】已知f(x)为R上的奇函数,当x0时,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.解(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-212+31+1)=-2.(2)当x0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),即f(0)=0.变式探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x0”改为“x0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.解当x0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为规律方法规律方法已知当x(a,b)时,f(x)=(x),求当x(-b,-a)时f(x)的解析式.若f(x)为奇函数,则当x(-b,-a)时,-x(a,b),f(x)=-f(-x)=-(-x);若f(x)为偶函数,则当x(-b,-a)时,-x(a,b),f(x)=f(-x)=(-x).提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.探究点三函数奇偶性与单调性的综合应用探究点三函数奇偶性与单调性的综合应用角度1比较函数值的大小【例3】已知偶函数f(x)的定义域为R,f(x)在区间0,+)上单调递增,则f(-2),f(),f(-3)的大小关系是()A.f()f(-3)f(-2)B.f()f(-2)f(-3)C.f()f(-3)f(-2)D.f()f(-2)f(-3)A解析f(x)在R上是偶函数,f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).f(x)在区间0,+)上单调递增,且23,f(2)f(3)f(),f(-2)f(-3)f(3)f().又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)f(-3)f().(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在0,+)上单调递增,所以函数在R上是增函数,因为-3-2,所以f(-3)f(-2)f().规律方法规律方法应用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.角度2解函数不等式【例4】已知定义在区间-2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减,若f(1-m)f(m),求实数m的取值范围.解因为f(x)在区间-2,2上为奇函数,且在区间0,2上单调递减,所以f(x)在区间-2,2上单调递减.变式探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“0,2”改为“-2,0”,其他条件不变,求实数m的取值范围.解因为函数为区间-2,2上的偶函数,又函数在-2,0上单调递减,所以函数在0,2上单调递增,不等式可化为f(|1-m|)f(|m|),规律方法规律方法解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)0,先将f(a)+f(b)0变形为f(a)0)B.y=|x+1|C.y=D.y=3x-1ABD123452.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=()A.-1B.-3C.1D.3B解析当x0时,f(x)=2x2-x,f(-1)=2(-1)2-(-1)=3.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-3,故选B.123453.函数f(x)的定义域为R,且对任意xR,有f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-,-1上单调递增,则()D12345123455.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)0,求a的取值范围.解f(3a-10)+f(4-2a)0,f(3a-10)-f(4-2a).f(x)为奇函数,-f(4-2a)=f(2a-4).f(3a-10)2a-4.a6.故a的取值范围为(6,+).