1 1训练目标了解简单矩阵与变换的思想与应用训练题型(1)矩阵运算及逆矩阵的应用；(2)变换的应用；(3)特征值与特征向量的应用解题策略根据教材上相关内容，理解记忆，无需追求难度，掌握基本概念即可.1(20xx苏北四市一模)已知矩阵A，求矩阵A的特征值和特征向量2(20xx南通、扬州、淮安、连云港二模)已知是矩阵M的一个特征向量，求实数a的值3(20xx南通二模)已知二阶矩阵M有特征值1及对应的一个特征向量e1，且M.求矩阵M.4(20xx南京三模)已知矩阵A(k0)的一个特征向量，A的逆矩阵A1对应的变换将点(3,1)变为点(1,1)求实数a，k的值5(20xx宿迁三校调研)已知矩阵A属于特征值的一个特征向量为a.(1)求实数b的值；(2)若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C：x22y22，求曲线C的方程6(20xx南京、盐城一模)设矩阵M的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2y21，求曲线C的方程答案精析1解矩阵A的特征多项式f()256，由f()0，解得12，23.当2时，特征方程组为故属于特征值2的一个特征向量1；当3时，特征方程组为故属于特征值3的一个特征向量2.2解设是矩阵M属于特征值的一个特征向量，则，故解得3解设M，则由，得再由，得联立以上方程解得a2，b1，c0，d1，故M.4解设特征向量对应的特征值为，则，即因为k0，所以a2.因为A1，所以A，即，所以2k3，解得k1.综上，a2，k1.5解(1)因为矩阵A属于特征值的一个特征向量为a，所以，即.从而解得b0，2.(2)由(1)知，A.设曲线C上任一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用后变为曲线C上一点P(x0，y0)，则，从而因为点P在曲线C上，所以x2y2，即(2x)22(x3y)22，从而3x26xy9y21.所以曲线C的方程为3x26xy9y21.6解由题意，知矩阵M的特征多项式为f()(a)(1)，因为矩阵M有一个特征值为2，所以f(2)0，所以a2.设曲线C上任一点的坐标为(x，y)，其在矩阵M的变换下的对应点的坐标为(x，y)所以M，即因为曲线C在矩阵M变换下的方程为x2y21，所以(2x)2(2xy)21，即曲线C的方程为8x24xyy21.