123456789 10 11 12 13 14A 级级 必备知识基础练必备知识基础练1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆,则该半圆的方程是()A.x2+y2=25B.x2+y2=25(y0)C.(x+5)2+y2=25(y0)D.随建立直角坐标系的变化而变化D解析由于建立的平面直角坐标系不同,因此该半圆的方程也不同,故选D.123456789 10 11 12 13 142.在平面内,A,B是两个定点,C是动点,若 =2,则点C的轨迹为()A.椭圆B.射线C.圆D.直线C解析以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,123456789 10 11 12 13 143.已知等腰三角形ABC其中一腰的两个端点分别是A(4,2),B(-2,0),|AB|=|AC|,则另一腰的一个端点C的轨迹方程是()A.x2+y2-8x-4y=0B.x2+y2-8x-4y-20=0(x-2,x10)C.x2+y2+8x+4y-20=0(x-2,x10)D.x2+y2-8x-4y+20=0(x-2,x10)B解析设C(x,y),由|AB|=|AC|,得(4+2)2+(2-0)2=(x-4)2+(y-2)2,即x2+y2-8x-4y-20=0.又点B与点C不重合且B,C,A不共线,所以x-2,x10.故选B.123456789 10 11 12 13 144.当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)相连,线段PQ的中点M的轨迹方程是()A.(x-3)2+y2=1B.(2x-3)2+4y2=1C.(x+3)2+y2=4D.(2x+3)2+4y2=4B解析设线段PQ的中点M(x,y),点P与定点Q(3,0)相连,则P(2x-3,2y).点P在圆x2+y2=1上变动时,线段PQ的中点M的轨迹方程是(2x-3)2+4y2=1.故选B.123456789 10 11 12 13 145.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足条件|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A.B.4C.8D.9B解析设P点的坐标为(x,y),因为两定点A(-2,0),B(1,0),且动点P满足|PA|=2|PB|,则(x+2)2+y2=4(x-1)2+y2,整理得(x-2)2+y2=4,所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4.故选B.123456789 10 11 12 13 146.过点A(8,0)的直线与圆x2+y2=4交于点B,则线段AB中点P的轨迹方程为 .(x-4)2+y2=1 解析设点P的坐标为(x,y),点B为(x1,y1),由题意,结合中点坐标公式可得x1=2x-8,y1=2y,故(2x-8)2+(2y)2=4,化简得(x-4)2+y2=1.即线段AB中点P的轨迹方程为(x-4)2+y2=1.123456789 10 11 12 13 147.已知:四边形ABCD,|AB|2+|CD|2=|BC|2+|AD|2.求证:ACBD.证明如图,以AC所在的直线为x轴,过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系.设顶点坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(x,y),|AB|2+|CD|2=|BC|2+|AD|2,a2+b2+(x-c)2+y2=b2+c2+(x-a)2+y2,化简得(a-c)x=0.ac,即a-c0,x=0,即D在y轴上,ACBD.123456789 10 11 12 13 148.在直角三角形ABC中,D是斜边AB的中点,P为线段CD的中点,则 B 级级 关键能力提升练关键能力提升练A.2B.4C.5D.10 D解析 以直角三角形的直角顶点C为坐标原点建立平面直角坐标系(图略),123456789 10 11 12 13 149.在ABC中,D为BC边上任意一点(D与B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|BD|DC|,则ABC为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.以上都不对A123456789 10 11 12 13 14解析如图所示,作AOBC,垂足为O,以BC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0)(bdc).因为|AB|2=|AD|2+|BD|DC|,所以b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),所以-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).又因为d-b0,所以-b-d=c-d,即-b=c,所以|OB|=|OC|.又AOBC,故ABC为等腰三角形.123456789 10 11 12 13 1410.已知圆C:x2+y2-8x-6y+16=0,过点P(4,1)的直线与圆C交于点M,N,线段MN的中点为Q.则点Q的轨迹方程为 .(x-4)2+(y-2)2=1 解析(1)由圆C:(x-4)2+(y-3)2=9方程可知(4-4)2+(1-3)2=40,所以|AB|2+|AC|2=(x+b)2+y2+(x-b)2+y2=2(x2+y2+b2),2(|AD|2+|DC|2)=2(x2+y2+b2),故|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).123456789 10 11 12 13 14设D(x,y),则C(2x-3,2y),将C(2x-3,2y)代入m2+n2+6m-9=0,可得(2x-3)2+(2y)2+6(2x-3)-9=0,123456789 10 11 12 13 14C 级级 学科素养创新练学科素养创新练14.一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?解以台风中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示),其中取10 km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9,123456789 10 11 12 13 14港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0),故这艘轮船不改变航线,不会受到台风的影响.