123456789 10 11 12 13 14A 级级 必备知识基础练必备知识基础练1.准线与x轴垂直,且经过点(1,)的抛物线的标准方程是()A.y2=-2xB.y2=2xC.x2=2yD.x2=-2yB解析由题意可设抛物线的标准方程为y2=ax(a0),则 =a,解得a=2,因此抛物线的标准方程为y2=2x,故选B.123456789 10 11 12 13 142.已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)B解析抛物线y2=2px(p0)的准线为x=且过点(-1,1),故 =-1,解得p=2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).123456789 10 11 12 13 143.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12B解析抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,则点P到准线的距离为6,即点P到抛物线焦点的距离是6.123456789 10 11 12 13 144.若抛物线y2=2px(p0)上的点A(x0,)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于()A.2B.4C.6D.8D123456789 10 11 12 13 145.若点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,则点P的轨迹方程为()A.y2=4xB.x2=4yC.y2=8xD.x2=8yD解析点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,点P到点(0,2)的距离等于它到直线y=-2的距离.由抛物线的定义可知,点P的轨迹为以A(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,p=4,点P的轨迹方程为x2=8y.故选D.123456789 10 11 12 13 146.(2023全国乙,理13)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为.123456789 10 11 12 13 14123456789 10 11 12 13 14解 由题意可知,抛物线的焦点在x轴正半轴上,故可设抛物线的标准方程为故所求抛物线的标准方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1.抛物线的准线过双曲线的一个焦点,c=1,即a2+b2=1.123456789 10 11 12 13 14123456789 10 11 12 13 14B 级级 关键能力提升练关键能力提升练9.已知抛物线y2=2px(p0)上一点M到其准线及x轴的距离分别为3和 ,则p=()A.4或1B.2或4C.1或2D.1B123456789 10 11 12 13 1410.M是抛物线y2=2px(p0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,FMx轴,且|OM|=,则抛物线的准线方程为()A.x=-1B.x=-2C.y=-1D.y=-2A123456789 10 11 12 13 14123456789 10 11 12 13 1411.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线C上的两点P,Q均在第一象限,且|PQ|=2,|PF|=3,|QF|=4,则直线PQ的斜率为()C解析 如图所示,作QM垂直准线于点M,PN垂直准线于点N,作PEQM于点E,因为|PQ|=2,|PF|=3,|QF|=4,所以由抛物线的定义可知|MQ|=4,|PN|=3,123456789 10 11 12 13 1412.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于D,E两点,若ODOE,则C的焦点坐标为.设直线OD的斜率为kOD,直线OE的斜率为kOE,由ODOE,可得kODkOE=-1,123456789 10 11 12 13 14(方法2)记直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)在第一象限内的交点为D,易知ODE=45,可得D(2,2),代入抛物线方程y2=2px(p0),可得4=4p,解得p=1.123456789 10 11 12 13 1413.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,且斜率为 的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的标准方程;由抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即p=4.故抛物线的标准方程为y2=8x.123456789 10 11 12 13 14(2)由(1),得p=4,代入4x2-5px+p2=0,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,可得(2-1)2=4+1,解得=0或=2.123456789 10 11 12 13 14C 级级 学科素养创新练学科素养创新练14.抛物线y2=4x的焦点为F,点A(4,2),P为抛物线上一点且P不在直线AF上,则PAF周长的最小值为.解析抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),|AF|=.过点P向准线作垂线,垂足为D,根据抛物线的定义,可知|PF|=|PD|,因此,|PA|+|PF|的最小值,即|PA|+|PD|的最小值.过点A向准线作垂线,垂足为D0,交抛物线于点P0,根据平面几何知识,可得当D,P,A三点共线时,|PA|+|PD|取最小值,为|AD0|=5.故PAF周长的最小值为5+.