基础落实必备知识全过关重难探究能力素养全提升目录索引成果验收课堂达标检测课程标准1.通过实例,了解幂函数的概念.2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,的图象,了解它们的变化情况及简单性质并归纳幂函数的图象.3.能运用幂函数的图象与性质解决相关问题.基础落实必备知识全过关知识点1幂函数的定义一般地,函数y=x称为幂函数,其中为常数.自变量在底数位置,要与指数函数区分名师点睛幂函数的特征(1)x的系数为1;(2)x的底数是自变量x,指数为常数;(3)项数只有一项.符合以上三个特征的函数才是幂函数,如y=x2,y=(x+2)2,y=xx等都不是幂函数.特别提醒1.不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数为常数且可正可负,而指数函数恰好相反,底数为常数且是不为1的正数,指数为自变量.2.幂函数y=x0的图象为两段平行于x轴的射线.过关自诊1.下列函数,是幂函数的为.(填序号)y=3x2;y=x2+1;y=-;y=;y=2x.2.人教A版教材习题已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),求这个函数的解析式.知识点2函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的图象与性质幂函数y=xy=x2y=x3y=x-1图象幂函数y=xy=x2y=x3y=x-1定义域RR(-,0)(0,+)值域R0,+)R0,+)(-,0)(0,+)奇偶性奇函数偶函数奇函数 奇函数单调性增函数在区间(0,+)上是增函数,在区间(-,0)上是减函数在区间(0,+),(-,0)上均是减函数定点(1,1)R 0,+)非奇非偶函数增函数增函数名师点睛除函数外,其余四个函数都具有奇偶性.过关自诊人教A版教材习题利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:(1)(-1.5)3,(-1.4)3;解设f(x)=x3,则f(x)在R上为增函数.因为-1.5-1.4,所以(-1.5)30,则幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.3.如果0时,幂函数在第一象限内为增函数;任意两个幂函数的图象最多有两个交点.A.1个B.2个C.3个D.4个B解析对于幂函数y=x,当x=1时,y=1,所以幂函数的图象均过点(1,1),故正确;幂函数的图象没有在两个象限内出现,故不正确;当x0时,x0,所以幂函数的图象不可能在第四象限,故不正确;当0时,幂函数在(0,+)上单调递增,故正确;幂函数y=x与y=x3的图象的交点为(-1,-1),(0,0),(1,1),共3个,故不正确.故正确的说法有2个.2.已知幂函数在(0,+)上是减函数,则实数a的值为.重难探究能力素养全提升探究点一幂函数的概念探究点一幂函数的概念B(2)已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,当实数m为何值时,f(x):是幂函数;是幂函数,且是(0,+)上的增函数.解因为函数是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x-13,函数在(0,+)上是减函数,当m=-1时,f(x)=x2,函数在(0,+)上是增函数,综上,m=-1.规律方法规律方法幂函数的判断方法(1)幂函数同指数函数、对数函数一样,也是基本初等函数,同样也是一种“形式定义”的函数,也就是说必须形如y=x(R)的函数才是幂函数.(2)如果函数以根式的形式给出,则要注意对根式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行判断.变式训练1下列函数:y=x2(xN),y=x-5+3x,y=3x(xZ),y=x3x+1.其中是幂函数的为.(填序号)探究点二比较大小探究点二比较大小【例2】比较下列各组数的大小:规律方法规律方法比较幂形式的两个数大小的常用方法A.abcB.bcaC.cabD.acbC(-1,4)解析幂函数(pN*)在(0,+)上单调递减,p2-2p-30,解得-1p3.pN*,p=1或2.当p=1时,f(x)=x-4为偶函数,满足条件,当p=2时,f(x)=x-3为奇函数,不满足条件,a2-13a+3,解得-1a4.探究点三幂函数的图象探究点三幂函数的图象【例3】(1)函数f(x)=的大致图象是()A解析因为-0时,n越大,y=xn递增速度越快,故C1的n=2,C2的n=,当n9)的图象可能是()C成果验收课堂达标检测12341.幂函数的图象过点(2,4),则它的单调递增区间是()A.(2,+)B.0,+)C.(-,+)D.(-,0)B解析设f(x)=x(为常数),由2=4,得=2,所以f(x)=x2.故其单调递增区间为0,+).1234A.cabB.abcC.bacD.acbB123412343.已知幂函数y=(m2+m-1)x-5m-3过原点,则实数m的值为.-2解析因为函数y=(m2+m-1)x-5m-3为幂函数,所以m2+m-1=1,解得m=-2或m=1,当m=-2时,函数y=x7的图象过原点,符合题意;当m=1时,函数y=x-8的图象不经过原点,不符合题意.故m=-2.12344.已知幂函数(kZ)是偶函数,且在区间(0,+)上是增函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若f(2x-1)0,0k(kZ),即k=1或2.当k=1时,f(x)=x3,当k=2时,f(x)=x2.f(x)为偶函数,k=2,即f(x)=x2.(2)f(2x-1)f(2-x),f(|2x-1|)f(|2-x|),|2x-1|2-x|,即(2x-1)2(2-x)2,解得-1x1,x(-1,1).