实际问题与二次函数(一)教学设计【教材】义务教育课程标准实验教科书数学九年级下册26.3实际问题与二次函数 【课时安排】第1课时 【教学对象】初三学生【授课教师】吴川市第一中学 张娟【教材分析】前面我们已学习了二次函数的概念、图象和性质，并且结合了实际问题讨论了二次函数，看到了二次函数在解决实际问题中的一些应用。本节的问题涉及求函数的最大值，要先求出函数的解析式，再求出使函数值最大的自变量值。【学情分析】学生已经学习了二次函数的概念、图象和性质，这些内容为学习二次函数的应用提供了知识支持，又学习了列代数式，列方程解应用题，这些内容又为本节内容的学习提供了建模能力的基石。而作为建立二次函数模型去解决实际问题，带有很强的综合性、灵活性，对学生的要求颇高。【教学目标】1知识与技能 通过探究实际问题与二次函数的关系，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法。2过程与方法 (1)通过研究生活中的实际问题,让学生经历数学建模的基本过程,体会建立数学建模的思想;(2)通过学习和探究“矩形面积”、“销售利润”问题,渗透转化及分类的数学思想方法.3.情感、态度与价值观 体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学应用的价值，提高学生应用数学的意识。【教学重点】 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法。【教学难点】 如何利用实际问题转化为二次函数的问题，并利用函数的性质进行决策。【教学方法】 引导探究、讨论交流【教学手段】 利用多媒体辅助教学【教学过程设计】一、 教学流程设计分析问题，解决问题归纳、总结设计意图：通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值。设计意图：通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值,学会用函数的观点认识问题设计意图：通过矩形面积的探究，先提出几个简单的问题，激发学习欲望。运用新知，拓展训练设计意图：通过一道较复杂的市场营销问题，培养学生分类讨论的思想方法创设情境，提出问题练习强化,巩固提高设计意图：1巩固最优化问题的解题思想与方法,2.让学生见识本节内容在中考中的地位以及中考是如何考查的.反思小结,观点提练设计意图:1.强化数学建模理论,形成知识组块;2.培养学生全面分析问题的良好习惯,并培养学生语言归纳能力.课后作业与思考设计意图:1.进一步巩固本节内容;2.引起学生学习下节内容的兴趣二、 教学过程设计教学环节教 学 内 容教师活动学生活动设计意图（一）创设情境，提出问题 预计时间 3分钟活动1现有60米的篱笆要围成一个矩形场地。(1)若矩形的一边长为10米，它的面积是多少？(2)若矩形的一边长分别为15米、20米、30米时，它的面积分别是多少？(3)从上面两个问同学们发现了什么？答案：(1)200;(2)225,200,0(此时的矩形不存在);(3)面积随边长的变化而变化,边长从10m到30m，对应矩形的面积先变大再变小，最后靠近0。另外，矩形的边长的取值范围是030（去掉0，30两个端点）教师通过层层设问,引导学生不断思考学生独立回答。学生发现两变量并发现矩形的长的取值范围。通过矩形面积的探究，先提出几个简单的问题，激发学习欲望。（二） 分析问题，解决问题预计时间 6分钟活动2你能找到篱笆围成的矩形的最大面积吗？你是怎么找到的?答案:能，是225设一边长为m,则另一边长为m,对应矩形的面积为,根据题意得 ,S225200100302502015105即 图象如下:发现这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数的最高点，即当取顶点的横坐标时,函数有最大值。即当时，取得最大值教师将学生分为五组， 引导 学生分析与矩形有关的量。教师深入小组参与讨论。学生小组讨论.教师深入小组参与讨论通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值,学会用函数的观点认识问题.让学生在合作学习中共同解决问题,培养学生的合作精神.（三）归纳、总结预计时间 2分钟活动3讨论：由矩形面积问题你有什么收获？讨论结果：（1）一般地，抛物线的顶点就是抛物线的最低（高）点，当时,二次函数有最小(大)值;（2）二次函数是现实生活中的模型，可以用来解决问题;（3）利用函数的观点来认识问题，解决问题。教师引导学生归纳.关注:(1)学生是否能从面积问题中体会到函数模型的的价值;(2)学生能否用函数的观点认识问题,解决问题.学生从上两活动中归纳通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值。（四）运用新知，拓展训练预计时间 15分钟活动4问题1：我班某同学的父母开了一个小服装店，出售一种进价为40元的服装，现每件60元，每星期可卖出300件。该同学对市场作了如下调查：如果调整价格，每降1元，每星期可多卖出20件。请问同学们，该如何定价，才能使一星期的利润最大？师生讨论得到：设每件降价元，每星期售出的商品的利润 随的变化： (0X20)问题2：能否说最大利润为6125元？答案 :能,当 =2.5时, 取得最大值为6125.问题3:该同学又进行了如下调查: 如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件,则此时该如何定价,才能使一星期获得的利润最大?设每件涨价X元,每星期售出的利润Y随之的变化: (0X30)当X=5时,Y取得最大值为6250.由上述讨论可知:每件为65元时,每星期的利润最大,最大为6250元.教师展示问题：某同学的父母该如何定价？引导学生思考理解。教师引导学生从另一个角度提出问题,即得问题3.活动中,教师重点关注:(1)学生在利用函数模型时是否注意分类;(2)在每一种情况下,是否注意自变量的取值范围;(3)是否对两种情况的最大值进行比较;(4)对问题的讨论是否完整.学生分组讨论。解决：本问题中的变量是什么？如何表示赚的钱呢？学生分小组练习,学生代表讲解各自的答案.通过一道较复杂的市场营销问题，培养学生分类讨论的思想方法。通过本问题的设计,让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的,培养学生考虑问题的完整性.（五）练习强化,巩固提高预计时间 14分钟活动51 出售某种文具盒，若每个获利元，一天可售出个，则当=_元时,一天出售该种文具盒的总利润最大.2 从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球运动时间（秒）的函数关系式是，那么小球在运动中的最大高度是_米.3.（2012包头）将一条长为20的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是_4. (2009哈尔滨)张大爷要围成一个矩形花圃,花圃的一边利用足够长的墙,另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为米, 矩形ABCD的面积为S平方米.(1).求S与之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);(2).当为何值时,S有最大值?并求出其最大值.BDC花圃A教师呈现问题学生动手解决问 题通过强化,意图之一是巩固最优化问题的解题思想与方法,意图之二是让学生见识本节内容在中考中的地位以及中考是如何考查的.（六）反思小结,观点提练预计时间 3分钟1,知识在线: 一般地，抛物线的顶点就是抛物线的最低（高）点，当时,二次函数有最小(大)值.当自变量的范围不包含顶点的横坐标时,要根据抛物线的增减规律来确定.2.方法提炼:(1)函数的观点:利用函数的观点来认识问题,解决问题.(2)建模思想:二次函数是现实生活中的模型,可以用来解决实际问题.基本思路如下循环框:目标实际问题的答案利用二次函数的顶点坐标求最值实际问题二次函数教师讲解点化学生内化数学建模理论1.小结意在强化数学建模理论,形成知识组块；2.培养学生全面分析问题的良好习惯,并培养学生语言归纳能力.（七）课后作业与思考预计时间 2分钟1.课后作业:习题26.3的第1、2、6题2.思考:本节课学习了利用二次函数的什么来解决生活中的实际问题?而利用二次函数的其他性质和图象又如何解决生活中的另一些问题?教师呈现问题学生接受新的问题1.为了能使学生进一步巩固本节内容，布置了课后作业;2.为了引起学生学习下节内容的兴趣,提出了课后思考 .三、 板书设计课题：26.3实际问题与二次函数(一)活动1活动2 活动4问题1：我班某同学的父母开了一个小服装店，出售一种进价为40元的服装，现每件60元，每星期可卖出300件。该同学对市场作了如下调查：如果调整价格，每降1元，每星期可多卖出20件。请问同学们，该如何定价，才能使一星期的利润最大？问题2：能否说最大利润为6125元？问题3:该同学又进行了如下调查: 如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件,则此时该如何定价,才能使一星期获得的利润最大?小结:循环框:活动5(练习)课后作业:1.习题26.3的第1、2、6题2.思考:8