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江西省八所重点中学2014届高三联考数学(理)试卷总分:150分 考试时间:120分钟一 、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题所给的四个选项中,只有一项符合题目要求的.1若集合,集合,则集合的元素的个数为 ( )A . 1 B . 2 C . 3 D . 42设为虚数单位,则=( )A. B. C. D.3一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,则这个几何体的俯视图一定不是( )11DA111CA11BA111A1 4已知,若,三向量共面,则实数等于( )A. B. C. D.5已知数列是等比数列,且,则的值为( )A . B . C . D . 6从编号为001,002,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032,则样本中最大的编号应该为( )A. 480 B. 481 C. 482 D. 4837下图是一个算法的流程图,最后输出的( )x=x-3是开始S=0x=2输出x结束S=S+x否ABCD8二项式展开式中的第三项与第五项的系数之比为,其中为虚数单位,则展开式的常数项为( ) A . B . C . D .9已知双曲线的左右焦点分别为,为双曲线的离心率,是双曲线右支上的点,的内切圆的圆心为,过作直线的垂线,垂足为,则线段的长度为( )A B. C DADA1CDCBADA112p10右图是某果园的平面图,实线部分游客观赏道路,其中曲线部分是以为直径的半圆上的一段弧,点为圆心,是以为斜边的等腰直角三角形,其中千米,(),若游客在路线上观赏所获得的“满意度”是路线长度的2倍,在路线EF上观赏所获得的“满意度”是路线的长度,假定该果园的“社会满意度”是游客在所有路线上观赏所获得的“满意度”之和,则下面图象中能较准确的反映与的函数关系的是( )二、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一题评阅计分,本题共5分.11(1)(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线(为参数)相交于两点,则=( )A. B. C. D.11(2)(不等式选做题)若不等式恒成立,则实数的取值范围为( ) A . B . C . D . 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,合计20分.12设随机变量服从正态分布,若,则_.13设实数满足不等式组,则的取值范围是_. 14已知,若,则_.2007032115已知一正整数的数阵如下图所示(从上至下第1行是1,第2行是3、2,.),则数字2014是从上至下第_行中的从左至右第_个数四、解答题:本大题共6小题,共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16(本小题满分12分)已知向量,. (1)求函数的最小正周期; (2)求函数在区间上的值域.17(本小题满分12分)已知A箱装有编号为的五个小球(小球除编号不同之外,其他完全相同),B箱装有编号为的两个小球(小球除编号不同之外,其他完全相同),甲从A箱中任取一个小球,乙从B箱中任取一个小球,用分别表示甲,乙两人取得的小球上的数字.(1)求概率; (2)设随机变量,求的分布列及数学期望.18(本小题满分12分)已知数列中,当时,. (1) 求数列的通项公式. (2) 设,数列前项的和为,求证:.图1图219(本小题满分12分)如图1,直角梯形中,分别为边和上的点,且,将四边形沿折起成如图2的位置,使(1)求证:平面; (2)求平面与平面所成锐角的余弦值.20(本小题满分13分)如图,线段为半圆所在圆的直径,为半圆圆心,且,为线段的中点,已知,曲线过点,动点在曲线上运动且保持的值不变 (1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线的方程;(2)过点的直线与曲线相交于不同的两点,且在之间,设,求的取值范围 21(本小题满分14分) 已知函数 (1) 若,求在点处的切线方程. (2) 令,求证:在区间上,存在唯一极值点. (3) 令,定义数列:.当且时,求证:对于任意的,恒有.江西省八所重点中学2014届高三联考数学(理科)试卷参考解答一 、选择题:110 ACBDA CCCBA二、选做题:11.(1)D(2)D 三、填空题: 12. 13. 14. 或20070321 15. 63;61四、解答题16.解:(1) 4分 函数的最小正周期. 6分 (2)因为在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以当时,取最大值 1 9分又 ,当时,取最小值 所以函数在区间上的值域为. 12分17解:(1) 5分(2)2345P 12分18. 解: (1) 当时, 数列是以为首项,公比为的等比数列 3分 6分 (2) 9分 = 12分19. 解:(1)取DE中点G,连接FG,AG,CG. CFDG,所以FGCD. CGAB, ,所以AGBC.所以 平面AFG平面CBD 所以 AF平面CBD 5分(2)如图以中点为原点,为轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以的中点坐标为因为,所以 易知是平面的一个法向量,设平面的一个法向量为 由令则,所以面与面所成角的余弦值为. 12分20.解 (1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,O为原点,建立平面直角坐标系,|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2|AB|=4 曲线C为以原点为中心,A、B为焦点的椭圆 设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,a=,c=2,b=1 曲线C的方程为+y2=1 4分(2) 当直线l的斜率不存在时,显然= (此时直线l与y轴重合) 6分当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+2,代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0 =(20k)2415(1+5k2)0,得k2 由图可知=由韦达定理得 8分将x1=x2代入得两式相除得M在D、N中间,1 综上:. 13分21.解:(1) ,所以所求切线方程为: 3分(2),即证方程在上有唯一解. 令,在上为减函数,且,所以原命题得证. 8分 (3) , , 又 14分
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