基础落实必备知识全过关重难探究能力素养全提升目录索引成果验收课堂达标检测课程标准1.了解数乘向量的概念并理解其几何意义.2.理解并掌握数乘向量的运算律.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.4.会利用向量的加法、减法与数乘向量进行线性运算.基础落实必备知识全过关知识点1数乘向量1.数乘向量的定义一般地,给定一个实数与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个向量,记作a,其中:(1)当0且a0时,a的模为|a|,而且a的方向如下:当0时,与a的方向;当0时,|a|=a.()(3)若a0,0,则a与-a的方向相反.()2.已知向量a=-2e,b=(e为单位向量),则向量a与向量b()A.不共线B.方向相反C.方向相同D.|a|b|B知识点2向量的运算律1.(a)=.2.a+a=.3.(a+b)=.(其中,R)名师点睛向量的运算律的理解要清楚数乘向量与实数乘法的区别,前者的结果是一个向量,后者的结果是一个实数.()a(+)a a+b 过关自诊(多选题)2023贵州黔西高一已知实数m,n和向量a,b,下列结论正确的是()A.m(a-b)=ma-mbB.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb,则a=bD.若ma=na(a0),则m=nABD解析易知A,B正确;对于C,若ma=mb,则m(a-b)=0,所以m=0或a=b,故C错误;对于D,若ma=na(a0),则(m-n)a=0,所以m-n=0,即m=n,故D正确.故选ABD.知识点3向量的线性运算向量的以及它们的混合运算,统称为向量的线性运算.名师点睛对向量的线性运算的理解(1)已知某些向量,要化简与它们有关的向量式,其解题方法可类比初中所学的“求代数的值”,即先化简向量式,代入,再化简,求值,这样能简化解题过程.(2)解向量的线性方程组的方法,同解代数方程组一样,进行消元,其消元方法通常为代入消元法、加减消元法.加法、减法、数乘向量过关自诊1.化简(2a+8b)-(4a-2b)的结果是()A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b2.若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则x=.B解析原式=(1-4)a+(4+2)b=-a+2b.故选B.4b-3a 解析3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,即x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.重难探究能力素养全提升探究点一数乘向量的概念探究点一数乘向量的概念【例1】(1)已知非零向量a,b满足a=4b,则()A.|a|=|b|B.4|a|=|b|C.a与b的方向相同D.a与b的方向相反C解析a=4b,40,|a|=4|b|.4b与b的方向相同,a与b的方向相同.C(3)若两个非零向量a与(2x-1)a方向相同,则实数x的取值范围为.解析由定义可知2x-10,即x.规律方法规律方法经过数乘向量运算得到的向量与原来的向量是共线的,其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小.变式训练1已知a,b是两个非零向量,判断下列各说法的正确性,并说明理由.(1)2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;(2)-2a的方向与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的;(3)-2a与2a是一对相反向量;(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.解(1)正确.20,2a与a同向,且|2a|=2|a|.(2)正确.50,5a与a同向,且|5a|=5|a|.-20,-2a与a反向,且|-2a|=2|a|.-2a与5a反向,且|-2a|=|5a|.(3)正确.-2a+2a=0.(4)错误.-(b-a)=-b+a=a-b.(5)错误.0a=0,0与任意向量共线.探究点二向量的线性运算探究点二向量的线性运算【例2】化简下列各式:(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;(2)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b).解(1)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.(2)原式=(m+n)a-(m+n)b-(m+n)a-(m+n)b=-2(m+n)b.规律方法规律方法数乘向量运算的方法总结(1)数乘向量运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,求向量x,y.由3+2得,x=3a+2b,代入得3(3a+2b)-2y=a,解得,y=4a+3b.所以x=3a+2b,y=4a+3b.探究点三用已知向量表示未知向量探究点三用已知向量表示未知向量D变式探究本例(1)中,设AC与BD相交于点O,F是线段OD的中点,AF的延长线交DC于点G,其余条件不变,试用a,b表示规律方法规律方法用已知向量表示未知向量的策略用图形中的已知向量表示未知向量,应结合已知和所求,联想相关的法则和几何图形间的关系,将未知向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示,其实质是向量线性运算的反复应用.探究点四三点共线问题探究点四三点共线问题规律方法规律方法用向量共线的条件证明三点共线的方法证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.成果验收课堂达标检测123A123CD1233.若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,m,n是未知向量,则m=,n=.解析3m+2n=a,m-3n=b,3得3m-9n=3b,