求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域& 常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。例1、求函数的值域。（）例2、 求函数的值域。（）答案：值域是：【同步练习1】函数的值域. （）解：（2）、配方法：二次函数或可转化为形如类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例1、求函数的值域。（）例2、求函数的值域。（）解：将函数配方得： 由二次函数的性质可知：当x=1时，当时，故函数的值域是：4，8例3、求。（）（配方法、换元法）解：所以当时，有最小值-2。故所求函数值域为-2，+）。例4、设，求函数的值域解：，当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值，函数的值域为评注：配方法往往需结合函数图象求值域例5、求函数的值域。（）（配方法、换元法）解：=，所以，故所求函数值域为，+。例6、求函数的值域。（）（配方法）。【同步练习2】（）1、求二次函数（）的值域. （）2、求函数的值域. （）3、求函数的最大值与最小值. （）4、求函数的最大值和最小值. （）5、已知，求函数的值域. （）6、若,试求的最大值。（）最大值。（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域例1、求的值域 解：令，则，所以函数值域为评注：利用引入的新变量，使原函数消去了根号，转化成了关于的一元二次函数，使问题得以解决用换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域小结：【同步练习3】求函数的值域。解：由，得。令 得，于是，因为，所以。故所求函数值域为-，。例2、求函数的值域。解：设，则。所以，故所求函数值域为。【同步练习4】求函数的值域。解：由，可得故可令当时，当时，故所求函数的值域为：小结：【同步练习5】1、求函数的值域. （）2、求函数的值域。（）解：因即故可令故所求函数的值域为3、已知函数的值域为，求函数的值域. （）（4）、函数有界性法（方程法）直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例1、求函数的值域。解：因为，所以，则由于，所以，解得。故所函数的值域为-2，-。求函数 的值域 例2、求函数的值域。解：因为，所以，即，所以，令，得，由，解得，故所函数的值域为-2，。【同步练习6】求函数，的值域.（5）、数形结合法（函数的图像）：对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例1、 求函数的值域分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域解：作图象如图所示，函数的最大值、最小值分别为和，即函数的值域为例2、 求函数的值域.解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为：例3、求函数的值域.解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为例4、求函数的值域.解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），在x轴的同侧。【同步练习7】1、求函数的值域. 2、求函数的值域. 3、求函数的值域.4、求函数的最大值. （6）均值不等式法：利用基本关系两个正数的均值不等式在应用时要注意“一正二定三相等”；利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例1、求函数的值域解：原函数可化为 当且仅当时取等号，故值域为例3、 求函数的值域.解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为：（7）、根判别式法：对于形如（，不同时为）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于的一元二次方程（二次项系数不为时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:例1、求函数的值域 解：原函数化为关于的一元二次方程（1）当时，解得；（2）当时，而故函数的值域为评注：在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零；使用此法须在或仅有个别值（个别值是指使分母为的值，处理方法为将它们代入方程求出相应的值，若在求出的值域中则应除去此值）不能取的情况下，否则不能使用，如求函数，的值域，则不能使用此方法例2、求函数的值域.解：两边平方整理得：（1）解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。【同步练习8】1、求函数的值域. 2、求函数的值域. 3、函数的定义域为，值域为，求的值.4、设函数 的值域为 ，求a,b . 5、已知函数y=f(x)= 的值域为1,3,求实数b,c的值. （8）、分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域例1、求函数的值域解：，函数的值域为求的值域.解：（利用部分分式法）由 ，可得值域小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。（8）、倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例1、求函数的值域.多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。【例题综合分析】例1、求下列函数的值域：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）解：（1）法一：公式法（略）法二：（配方法），的值域为【拓展】求函数，的值域解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为函数，的值域为（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为又，故，的值域为（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，原函数的值域为（法二）分离变量法：，函数的值域为（4）换元法（代数换元法）：设，则，原函数可化为，原函数值域为说明：总结型值域，变形：或（5）三角换元法：，设，则，原函数的值域为（6）数形结合法：，函数值域为（7）判别式法：恒成立，函数的定义域为由得： 当即时，即，当即时，时方程恒有实根，且，原函数的值域为（8），当且仅当时，即时等号成立，原函数的值域为（9）（法一）方程法（函数有界性）：原函数可化为：，（其中），原函数的值域为（法二）数形结合法：可看作求点与圆上的点的连线的斜率的范围，解略例2、若关于的方程有实数根，求实数的取值范围（综合）解：原方程可化为，令，则，又在区间上是减函数，即，故实数的取值范围为：例3、 求函数的值域。（换元法、不等式法）解：令，则（1）当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法【拓展练习】（共11题，附答案）一、选择题1、下列函数中，值域是（0，+）的函数是A B C D2、已知（是常数），在上有最大值3，那么在上的最小值是A B C D 3、已知函数在区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是A、 1，+） B、0，2 C、（-，2 D、1，24、（04年天津卷.文6理5）若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a= A. B. C. D. 5、（04年湖北卷.理7）函数上的最大值与最小值之和为a,则a的值为（A） （B） （C）2 （D）46、若，则的最小值是_的最大值是_7、已知函数的值域为R，则实数的