位矢 r 的方向余弦cos a = x/r2 运动方程cos 0 = y/rcosy = z/rr (t) = x (t 卫 + y (t) j + z (t )k消去参数 t 得轨迹方程 f(x，y，z)=03 位移Ar = r - rBAAr = (x - x )i + (y - y ) jBABA+ (z - z ) kBA讨论：（1）位移的大小与位矢长度的变化 Ar工ArArAr 卜、:Ax 2 +Ay 2 +Az 2=J F + 璟 + 旬22）位移与路程：第一章 质点运动学研究物体（质点）的位置随时间而变化的规律1. 1 质点运动的描述一 参考系 质点1 参考系 为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系. 选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这就是运动描述的相对性.2 质点 如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其大小和形状对物体运动的影响，若不涉及 物体的转动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量的点（即质点）来处理 .质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型 . 目的是为了突出研究对象的主要 性质 , 暂不考虑一些次要的因素 .位置矢量 运动方程 位移 1 位置矢量确定质点P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称 位置矢量，简称位矢。r = xi + yj + zk位矢戸的值为r=n=严尹為一般情况，位移大小不等于路程|Af|丰&当 At0 时，|Ar n |dr| = ds三 速度1 平均速度At时间内，质点从P到P2二 Ar Ax - Ay - Az 厂v = i + j + kAt AtAtAt2 瞬时速度当 At0 时平均速度的极限值叫做瞬时速度， 简称速度vAr limdr-气+dy二+叫At T0Atdtdtdtdt即v=v i +v j +v k大小：vyzV 2 + V 2 + V 2xyz沿质点运动轨迹的切线方向方向或vCOS a =百COS 0= RCOS Y =讨论：（1）速度与速率瞬时速度速度与速率平均速率与平均速度平均速率二d s 二/ v =edt tA sv =- A tdx、d?2 +v = If =J芒）+（为2 二dt四1）加速度（反映速度变化快慢的物理量）平均加速度f Ava =-At2）a与Av同方向瞬时）加速度a - lim A dvAt TO Atdt（1）直角坐标系加速度axd2rdvXi+dt 2dtdvy 二+fdtdtdvd2 xx = dtdt 2dvd2 yy dtdt 2加速度大小 加速度方向a = Ja 2 + a 2 + a 2x y zdvd2za = z z dtdt 2aCOS a=園aCOS 0=间aCOSY =百 al（2）自然坐标系在运动轨迹上任取一点0,在某时刻t,质点位于P处，沿轨迹某一方向量得的曲线长度法向加速度(速度方向变化引起)a = v = 2 p nv27dV e V 2 e e + e dt t p n加速度大小：PI = !a 2 + a 2，方向:tn讨论：S=S(t)即为以自然坐标系表示的质点运动方程切线坐标：沿轨迹上任一点的切线方向，切向单位矢量 法线坐标：沿轨迹上任一点的法线方向，法向单位矢量 *注意：e ,e随质点移动tn- ds - ds d 0 -v =e = v e =e = p edt tt d 0 dt tt其中 p=ds/d0 曲率半径a=dv=dv e+v det 加速度：击dt tdt切向加速度(速度大小变化引起)a = dvt dt(1) 一般情况下，|a|丰空dt例 匀速率圆周运动a 丰 0,dV = 0dt( 2 )在讨论圆周运动和曲线运动时常采用自然坐标系，即e dV - V 2 -a = e + edt t r n=ae +a et t n n 1. 2圆周运动 圆周运动一般采用自然坐标系加速度：e dV e V 2 ea = e + edt t r n=ae +a et t n nAe de d0 - lim t = t = d0 e 切向单位矢量的时间变化率At At dtdt n_ a加速度大小：a a 2 + a 2，方向：tg申=r tnatv2ve = w 2 r =a = do t arrd0dww =a =dtdt(1)匀速率圆周运动：速率v和角速度w都为常量a =a e =rw 2en n 2 n(2)匀变速率圆周运动a=常量，当 t=0 时，0=0O, w=w0。w0 = w0 + a t010=0 ,w t + St2o + o 2w? =w?+2a(00 )oo讨论：对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的：( 1)质点作曲线运动时，加速度方向总是指向曲线的凹侧吗？在平面曲线运动中，法向加速度永远指向其曲率圆的中心，而曲率圆一定在该段曲线的凹侧 无论切向加速度与速度的方向相同还是相反，上述结论均成立。如图示质点作抛体运动A点a = g与E成钝角B点a = g与E成锐角C点a = g与v成直角(2) 切向加速度必不为零吗？(3) 法向加速度必不为零(拐点处除外)吗？(4) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零吗？(5) 若物体作匀速率运动，其总加速度必为零吗？(6) 若物体的加速度为恒矢量，它一定作匀变速率运动吗？ 例题1 在离水面高度为 h 的岸边，有人用绳拉一小船在水面上向岸边靠近，并以匀速收 绳V (如图)。求船与岸相距为x时的速度和加速度。解：令10为人开始拉船时(戶0)的绳长，在收绳拉船的过程中任一时刻t,绳长为 l=l(t)=l0-v0t(1)取图示的坐标系Oxy,在任一时刻，船的位矢为r，其坐标为(x, -h)根据几何关系，船 在任一时刻的位置坐标为x = ” 2 h 2, y = h (2)由式dudt= “o,贝g小船的速度为dx 亍 dy 弋 d丁 d /.ldl 丁/l、丁v = i + j =(、/ 2 - h2 )i +(h) j =i = _()v idt dt dtdt/ 2 _ h 2 dt/ 2 _ h 2 0 J% 2 + h 2 考虑到X = 2 j求质点任一时刻的切向加速度和法向加速度。23缶 v = dL=ti +(2t+1, r解：dtv = 2t +1即 ya = dv = r+(2t+1) 12 rdta = 1a = (2t +1)-1/2,2t + 2a =2t +1由定义知dv= =1dtV 2 j/2t2t +1另一方法：由函数式求出任一点处曲率半径p,再由a =匕 求得结果。p 1. 3加速度为恒矢量的质点运动一个具有恒定加速度a的质点，在平面上作曲线运动，求质点的运动方程。设t=0时质点 的初速度为v，质点的位矢为r。分析：这是一0个已知质点运动状0态，求运动方程的问题，通称为运动学第二类问题，具体是通过积分的方法进行计算rd v由a = 得 dt r r d r v =又dtJ Vdv = I tadt丄。dt + Jj -j-j Jv = v + at0ta t d tr01 A/A方法一：取如图坐标系oxy,坐标原点在抛物点处，则式（1）的分量式为:(1)(2)x= v cos0讨论：运动的叠加的矢量的分解和合成02这就是加速度为恒量-的质点运动方程设一抛体以初速 沿与水平面上ox轴的正方向成a角抛出，贝Ia = g，若设t=0时r = 0则- - 1 - 0r = v t + gt 20 2枪打落靶的演示 例题3在倾角为a=30 的斜坡上，以初速度V0抛出一小球 设V0与斜坡夹角卩=60，如图示，求小球落地处离抛物点之间的距离x = v cos(卩 一 a) ty = v sin(卩 a) t 一 2 gt 2 0/ 2此式的物理意义是： 小球的运动是 x 方向的匀速直线运动和 y 方向匀变速运动的叠加L=2v02/g落地时有：x=Lcosa, y=-Lsina代入式（2）,得:1g sin a t2y = v sin 卩t 一 g cos at 2 02方法二：取如图Oxy坐标系，坐标原点在抛出点处，则式（1） 的分量式为 小球的运动是 x 方向的匀变速运动和 y 方向匀变速运动的叠加 落地时有：x=L， y=0，代入式（2）,得：L=2v02/g方法三:1直接由矢量式r = vt + 2 gt202进行运算从矢量三角形图可知，这是一正三角形。则2v 2例题 3P19 1. 4相对运动讨论质点相对不同参考系的运动情况Pxc1演示:在以速度 匀速直线运动小车上,竖直上抛一小球 地面观察者:小球作斜抛运动 车上观察者:小球作上抛运动 运动质点相对小车和相对地面参考系的位移和速度设地面参考系为S(Oxyz)，小车参考系为S (Oxyz) 位移关系 Ar = Ar +AD伽利略速度变换v = v+u注意：当u接近光速时，伽利略速度变换不成立！