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第一部分:基本要求(计算方面) 四阶行列式的计算;N 阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等); 矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算); 求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程; 含参数的线性方程组解的情况的讨论; 齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解); 讨论一个向量能否用和向量组线性表示; 讨论或证明向量组的相关性; 求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示; 将无关组正交化、单位化; 求方阵的特征值和特征向量; 讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵; 通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化; 写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵; 判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分:基本知识 一、行列式 1行列式的定义 用n八2个元素aj组成的记号称为n阶行列式。(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和;(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半; 2行列式的计算一阶|a|二a行列式,二、三阶行列式有对角线法则; N阶(n=3)行列式的计算:降阶法定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子 式乘积的和。方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为 0, 利用定理展开降阶。特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;(2)行列式值为 0 的几种情况:I行列式某行(列)元素全为0;II行列式某行(列)的对应元素相同;III行列式某行(列)的元素对应成比例;IV奇数阶的反对称行列式。二矩阵1矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩阵、对角、对称 矩阵等);2矩阵的运算(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2)关于乘法的几个结论: 矩阵乘法一般不满足交换律(若AB = BA,称A、B是可交换矩阵); 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在; 若A、B为同阶方阵,则|AB| = |A|*|B|; |kA|二k八n|A|3矩阵的秩(1) 定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;(2) 秩的求法一般不用定义求,而用下面结论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第 一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。 求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵(1) 定义:A、B为n阶方阵,若AB = BA=I,称A可逆,B是A的逆矩阵(满 足半边也成立);(2) 性质:(AB厂-仁(B=1)*(A=1), (A厂-仁(A=1); (A B 的逆矩阵,你懂的)(注意顺序)(3) 可逆的条件: |A|工0;r(A)= n;A-I;(4) 逆的求解伴随矩阵法A1 = (1/|A|)A*;(A* A的伴随矩阵) 初等变换法(A:I)-(施行初等变换)(l:A=1)5用逆矩阵求解矩阵方程:AX=B,则 X二(A-1) B;XB=A,则 X=B(A-1);AXB=C,则 X=(A-1)C(B-1)三、线性方程组1线性方程组解的判定定理:(1) r(A,b)工r(A)无解;(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解;(3) r(A,b)=r(A)n有无穷多组解;特别地:对齐次线性方程组AX=0(1) r(A)=n只有零解;(2) r(A)n有非零解;再特别,若为方阵,(1) |A|工0只有零解(2) |A|=0有非零解2齐次线性方程组(1) 解的情况:r(A)= n,(或系数行列式D0)只有零解;r(A)=3)行列式的计算:降阶法定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子 式乘积的和。方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为 0, 利用定理展开降阶。特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;(2)行列式值为 0 的几种情况:I行列式某行(列)元素全为0;II行列式某行(列)的对应元素相同;III行列式某行(列)的元素对应成比例;IV奇数阶的反对称行列式。二矩阵1矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩阵、对角、对称 矩阵等);2矩阵的运算(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2)关于乘法的几个结论: 矩阵乘法一般不满足交换律(若AB = BA,称A、B是可交换矩阵); 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在; 若A、B为同阶方阵,则|AB| = |A|*|B|; |kA|二k八n|A|3矩阵的秩(1)定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;(2)秩的求法一般不用定义求,而用下面结论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第 一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。 求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵(1) 定义:A、B为n阶方阵,若AB = BA=I,称A可逆,B是A的逆矩阵(满 足半边也成立);(2) 性质:(AB厂-仁(B=1)*(A=1), (A厂-仁(A=1); (A B 的逆矩阵, 你懂的)(注意顺序)(3) 可逆的条件: |A|工0;r(A)= n;A-I;(4) 逆的求解伴随矩阵法A1 = (1/|A|)A*;(A* A的伴随矩阵)初等变换法(A:I)-(施行初等变换)(l:A=1)5用逆矩阵求解矩阵方程:AX=B,则 X二(A-1) B;XB=A,则 X=B(A-1);
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