求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积 分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积 分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进展计算、利 用全微分公式通过求原函数进展计算等方法。例一.计算曲线积分f ydx + xdy,其中L是圆x2 + y2二2x (y 0)上从原点LO(0,0)到 A(2,0)的一段弧。此题以下采用多种方法进展计算。-I x = x,1 x解1: OA的方程为L由O t A, x由0 t 2, dy =dx.+ xdy = f 2& 2 x x2 +I y = p2x x2,寸2x x24( dxv2 x x 2=x运m 2 f 2 x(l - x) dx + f 2芈dx00 2x x20 ： 2 x x2=2,4Z 0 = 0.分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进展计算的， 选用的参变量为x.因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解 法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积 分的下限。解2:在弧OA上取B(1,1)点,OB 的方程为 ， 歹,L 由 O t B, y 由 0 t 1, dx = , y _dy.、x =1-p1- y 2，J1- y 2bA 的方程为 ， 歹.L 由 B t A, y 由 1 t 0, dx = y - dy.f ydx + xdy =Lf1(亠0 V1y2、x = 1 + J1-y 2,J1 y 2+1 - pi-y2 )dy+fo(-y1 V1 y 2=2f 1=dy - 2f .;1 - y2dy = 2f 1=dy - 2y*1 - y20 1 一 y20of1 - y2i + 2 f ZLdy0 o JI - y 2=2(蓄口 - 0)二 0.分析：解2是选用参变量为y,利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在 方法类型上与解1 一样。不同的是以y为参数时，路径L不能用一个方程表示, 因此原曲线积分需分成两局部进展计算，在每一局部的计算中都需选用在该局部 中参数的起始值作为定积分的下限。解 3： OA 的参数方程为 x = 1 + cos0, y = sin0, L 由 0 t B t A, 0 由兀 t 0, dx = - sin 0 d0, dy = cos 0 d0.fydx+xdy=f0-sin20+(1+cos0)cos0d0 =f 兀cos0 - cos 20 d0兀0L二(-sin 0 - i sin 20)兀二0.0解4： 0A的极坐标方程为r二2cos0 ,因此参数方程为x 二 r cos0 二 2cos2 0, dy = r sin9 = 2sin9 cos0, L 由 0 t B t A, 6 由兀t 0, dx 二-4sin0 cos0 d0, dy 二 2(cos2 0 sin2 0) d0.2f ydx + xdy = J；-8sin20 cos2 0 + 4cos2 0(cos2 0 一 sin2 0)d0L2兀1 兀3 1 兀=4J 2 3cos2 0 + 4cos4 0d0 = 4(3 4) = 0.02 24 2 2分析：解 3和解 4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条曲线的参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用 对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。解5：添加辅助线段AO，利用格林公式求解。因P 二 y, Q 二 x,攀-甞=1 -1 = 0,于是 ex cyf ydx + xdy =-ff Odxdy,L+AOD而 f ydx + xdy = f 00dx = 0,2A0故得J ydx + xdy = J J 二 0.LL+AO AO分析:在利用格林公式J P( x, y )dx + Q( x, y )dy =)dxdy将所求曲线Ldx dyD积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助 曲线，采用“补路封闭法进展计算再减去补路上的积分，但P, Q必须在补路后的封闭曲线所围的区域有一阶连续偏导数。L是D的正向边界曲线。解5中添加 了辅助线段AO,使曲线L + AO为正向封闭曲线。解6：由于P = y, Q二x,譽環=1,于是此积分与路径无关，故J ydx + xdy = J ydx + xdy = J（2,0） ydx + xdy = J2 0dx = 0.（0,0）0LOA分析：由于p, Q在闭区域D上应具有一阶连续偏导数，且在D譽豊,因此所求积分只与积分路径的起点和终点有关，因此可改变在L上的积分为在OA 上积分，注意O点对应L的起点。一般选用与坐标轴平行的折线段作为新的积分 路径，可使原积分得到简化。解7:由全微分公式ydx + xdy = d(xy),（2）=0.（0,0）J ydx + xdy = J (2,0)d (xy) = xyL(0,0)分析:此解根据被积表达式的特征，用凑全微分法直接求出。 例二.计算曲线积分J(z y)dx + (x z)dy + (x y)dz,其中C是曲线C+ *二1，从z轴正向往z轴负向看C的方向是顺时针的。 、x y + z 二 2,解1:设E表示平面x - y + z二2上以曲线L为边界的曲面，其中E的正侧与斯托克斯公式J （z 一 y ）dx + （x 一 z） dy + （x 一 y ）dz 二 KcExydydzdzdx dxdyddddxdydzz 一 yx z x yL的正向一致，即E是下侧曲面，E在xoy面上的投影区域D : x2 + y2二1.由=2JJ dxdy = -2 JJ dxdy = -2兀.SDxy解2:利用两类曲面积分间的联系，所求曲线积分了可用斯托克斯公式的另cos acos Pcos yaaaaxayazz 一 yx-zx-ydS一形式求得出J (z - y )dx + (x - z )dy + (x - y )dz 二 JJCS=JJ (0 + 0 + 2 cosy )dS,S- 一 1 而平面S : x- y + z = 2的法向量向下，故取n = -1,1,-1, cosy =,3于是上式= rBJJdS =JJ、：1 + (-1)2 + 1dxdy = -2兀.x2 + y 2 0, y 0, z 0的边界曲线的 重心，设曲线的密度p _ 1.解：设边界曲线L在三个坐标面的弧段分别为L , L , L ,那么L的质量为 123m