数学逻辑一 、 数学逻辑1.逻 辑逻辑一词译自英文“Logic，源于希腊文 “Logos，原意“词、“思想、“理性，在日常生活中，“逻辑是一个多义词，既指事物开展规律，又指思维规律，也指逻辑科学。中学数学中的逻辑，主要指形式逻辑，也局部涉及辩证逻辑。形式逻辑是一门以思维形式及其规律为主要研究对象，同时涉及一些简单逻辑方法的科学。辩证逻辑是关于思维的辩证开展规律的科学，是唯物辩证法在思维领域的应用，从本质上说，辩证逻辑和唯物辩证法是一致的，唯物辩证法的根本规律也就是辩证逻辑的规律。2.思 维思维是指人脑对客观事物间接的和概括的认识过程；通过这种认识，可以把握事物的一般属性和本质属性。思维有两个根本特点：间接性和概括性。间接性主要指思维是人脑对于客观事物的间接认识过程。所谓间接认识，就是以其他事物作为媒介，借助于已有的知识和经验，去认识那些没有直接感知过的或者难以直接感知的事物，预见和推测事物的开展过程。概括性主要指思维是人脑对于客观事物的概括认识过程。所谓概括认识，就是以大量事实为依据，在已有知识经验的根底上，舍去某类事物的个别特点，抽出其共性的东西，从而得出这类事物的一般特性，发现事物间的科学规律。3.思维的具体过程：1发现问题是解决问题的起点，也是解决问题的归宿。问题就是矛盾；发现问题就是发现矛盾；2明确问题，就是发现问题之后，经过进一步分析，从一系列矛盾中，找出其主要矛盾。明确问题有两个根本要求：一是理清问题的症结之所在；二是准确地把问题表述出来。即在解答数学题中，表掘，弄清题目意思，分辨条件、问题或结论，开掘题中概念的特征或图形的性质；3提出假设，就是明确问题之后，提出解决问题的原那么、方案、途径和方法； 4检验假设，就是验证提出的假设的真实性，检验假设通常有两条途径：一是在实践活动中检验，如通过画图、测量、实验等检验；二是在思维活动中去检验，如通过间接推理来检验假设。检验获得成功，就可以对所考察的问题作出相应的正确结论。4.思维的常用方法：1分析和综合在思维中把事物的整体分解为局部，把复杂事物分解为简单要素，把完整的过程分解为各个阶段，并分别加以研究的思维方法叫分析；把事物的各个局部、各个方面、各种要素、各个阶段连接为整体进行考察的思维方法叫综合2比拟和分类确定有关事物的共同点和不同点的思维方法叫比拟；根据事物的共同性和差异性，把具有相同属性的事物归于一类，把不同属性的事物归入不同的类的思维方法叫分类3抽象、概括和具体化把各种事物的共同属性抽取出来加以考察的思维方法叫抽象；把抽象出来的事物的共同属性联合起来加以考察的思维方法叫概括；把抽象、概括中获得的概念和理论运用于实际，以恰当的实例来说明概念，解释理论的思维方法叫具体化4系统化把各种有关材料归入某种一定的顺序，纳入某种一定的体系的思维方法叫系统化5类比、归纳和演绎类比、归纳和演绎都附属于数学推理。推理是从一个或几个判断，推出另一个新判断的思维形式。推理可分为直接推理是指只有一个前提的推理和间接推理是指两个或两个以上前提组成的推理。类比推理、归纳推理和演绎推理均属于间接推理范畴。由特殊场合的知识推出特殊场合的知识思维形式，叫类比推理。具体地说，它是根据两个或两类事物的某些相同的性质，推测它们在别的性质上也可能相同的推理形式。特别注意：类比推理所引出的结论不一定真实。由特殊场合的知识推出一般原理的思维形式，叫归纳推理。有完全归纳法和不完全归纳法两种常见形式。完全归纳法是指研究了某类事物中的每一个对象，然后概括出这类事物的一般性结论。因而由正确的前提必能得出正确的结论；不完全归纳法是指通过对某类事物中的局部对象的研究，概括出这类事物的一般性结论。前提和结论未必有必然的联系。因此由不完全归纳法得到的结论，只有或然的性质，结论是否正确还需要经过理论的证明和实践的检验。由一般原理推出特殊场合知识的思维形式，叫演绎推理。可分为直言三段论和假言直言三段论。直言三段论，是从两个直言判断其中一个必为全称判断得出第三个判断的演绎推理。第一个判断提供了一般的原理叫做三段论的大前提；第二个判断提出一个特殊场合的情形，叫做小前提；综合这两个判断，得到反映一般原理与特殊场合联系的判断，即为第三个判断，叫做结论。例1.凡平行四边形M的对角线互相平分P大前提，正方形S是平行四边形M小前提；所以，正方形S的对角线互相平分P结论。假言直言三段论，是从一个假言判断和一个直言判断得出第三个判断的演绎推理。有肯定式和否认式两种；肯定式是从肯定假言前提的条件，从而肯定它的后件推理；否认式是从否认假言前提的后件，从而否认它的前件的推理。例2.假设两角是对顶角，那么这两个角相等。角所以BOD。例3. 假设两角不相等，那么这两个角不是对顶角。 BOD，所以角5.思维的根本规律在形式逻辑中，概念、判断和推理三种根本的思维形式要准确地运用概念和判断，进行推理或证明，必须遵守同一律、矛盾律、排中律和充足理由律等四条根本规律1同一律.在同一时间内，从同一方面，思考或者议论同一事物的过程中，必须始终保持同一的认识。2矛盾律.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断，不能同真。3排中律.在同一思维过程中，两个互相否认的概念或判断，必然一个是真的。排中律是反证法的逻辑根底。4充足理由律.任何一个真实的判断，必然有充足的理由二、数学概念概念是人们对客观事物的一种认识，是反映客观事物的本质的思维形式。概念不同于感觉，感觉是具体的、直接的，概念是抽象的、概括的。抽象性和概括性是概念不同于感觉的重要特征。1.概念的内涵和外延内涵：概念所反映的对象本质的总和概念所反映的对象的质的方面叫做概念的内涵。外延：概念所反映的对象的总和概念所反映的对象的数量，或对象的范围叫做概念的外延。2.定义、划分、判断、命题及其定理定义是揭示概念内涵的逻辑方法，也就是通过指出概念所反映的事物本质，来说明概念的逻辑方法。划分是揭示概念外延的逻辑方法，也就是通过把一个属概念划分为假设干种概念来明确概念的逻辑方法。判断是对客观事物的一种认识，是对客观事物有所肯定或否认的思维形式。命题是做出判断时思维活动的过程，通过语言、文字或符号而表达的数学判断，也可以理解为，可以判断正确或判断错误的句子叫做命题。“命题由“题设和“结论两局部组成。正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。数学中的定义、定理、公式、性质、法那么都是数学命题。对于同一素材可以做出四个命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。互逆或互否的两个命题的真实性并非一致，既可以两个同真也可以同假，也可以一真一假；两个互互为逆否的两个命题的真实性是一致的，同真或同假现在初中不讲“否命题和“逆否命题。数学命题有真有假，但凡经过逻辑证明确认其真实性的命题，叫做定理。一些定理是由某一定理直接推得的，它的真实性只需稍加思索就能确定，不需要详细论证，这样的定理叫做推论关系。如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原定理的逆定理。这两个定理互逆的。公理是数学中最根本的命题，它们在理论形式上，是逻辑推论的大前提，是数学需要作为自己出发点的少数思想上的规定，其真实性不是由逻辑证明来确定的而是不证自明的。3.充分条件、必要条件和充要条件如果命题“A为真，即A命题中的假设就叫做使B结论成立的充分条件。如果命题“为真，原命题中的题设的否题设为真，那么A原命题中的题设就叫做使B原命题中的结论的否结论成立的必要条件。如果命题“A为真，那么A就叫做使B成立的充分必要条件，或者简称为充要条件；这时B也是A成立的充要条件。4.同一原理当一个命题的条件和结论都唯一存在，它们所指的概念是同一概念时，这个命题和它的逆命题等效，这个道理叫做同一原理。同一原理是间接证明方法中同一法的逻辑根据。三、数学证明证明是引用一些真实的命题，来确定某一命题真实性的思维形式。证明由论题、论据和论证三局部组成。论题是指需要确定其真实性的那些命题。通常写的“、“求证、“证明中的“求证局部论据是指被用来作为证明的理由。数学中的公理、定义、定理、推论、公式、性质等，都可以作为证明的论据。论证就是证明的过程。是指从论据推出论题的过程，它说明论据和论题必然的逻辑联系。证明过程其实也是推理过程，就是把论据作为推理的前提，应该用正确的推理形式推出论题的过程。证明的过程在思维的过程中，可以从不同的角度出发，从而得出不同的证明方法，那么有演绎证法与归纳证法、分析法与综合法及直接证法与间接证法。1.演绎证法与归纳证法任何证明都是特殊形式的推理，因此按推理的方法，证明可分为演绎证法与归纳证法两种。用演绎证明来证明论题的方法，叫做演绎证法三段论例4. 在菱形ABCD中，点E，F分别是边CD，AD的中点。求证：AE=CF。用归纳推理来证明论题的方法，叫做归纳证法。归纳证法可分为完全归纳法和不完全归纳法两种。完全归纳法又称枚举归纳法。通过对命题条件的一切可能情形的论证，从而确定命题真实性的证明方法。枚举归纳法应用于证明这样的命题，当条件的性质或关系发生变化时，其证明的理由也随之有所不同。其步骤是先对命题条件的一切可能情形逐一加以论证，然后总括起来断言命题普遍成立。在应用此法时，必须把各种可能情形作适当的分类，注意做到不遗漏、不重复。例5.将17分解成假设干个自然数之和，使它们的积最大。例6.求函数 在不完全归纳法，通过对命题条件的一局部进行研究，从而推断命题的一般结论的论证法。它所得到的结论有时是不可靠的。因此，常常成为“猜测，猜测那么必须用其它方法去证明它或者推翻它。假设猜测具有递推性，我们就能将内部成立的结论推广到一般。例7.在三角形ABC的内部有点P,Q,R，与三角形两个顶点B,C围成一个凸多边形，试比拟这个凸多边形的周长和三角形ABC的周长的大小。例8.法国数学家费马提出一个计算素数的公式： 。同时有人提出： 也是素数计算公式。请问这两个公式正确吗？2.分析法与综合法对于一个命题的证明，不管用演绎法还是用归纳法，都有一个然后思维的方法问题，根据思维时推理序列的不同方向，证明方法可分为分析法和综合法两种。分析法是从特征的结论出发，一步一步地探索下去，最后到达命题的条件。综合法是从命题的出发，经过逐步的逻辑推理最后到达待证的结论。例9.在 DE=b, BE=c.求证:一元二次方程分析法的特点是探果索因，即从“未知看“需知，逐步靠拢“。其逐步推理实际上寻找它的充分条件；综合法的特点是由因导果，即从“逐步推向“未知，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件。但是分析法书写显得冗长，有点别扭，而综合法表述流畅。我们可以采用先用“分析法寻找解题思路，再用“综合法有条理的表述解题过程。3.直接证法与间接证法直接证法是从命题的条件出发，根据的定义、公理、定理、直接推断结论的真实性。我们平时证题多数采用此法，不再举例。有些命题用直接证法比拟困难，有的在待定的场合甚至找不到证明的依据。这时可以证明它的反论题(与原论题相矛盾的判断)是假的，或考证它的等效命题，结果也能间接地到达目的。这种不是从正面证明论题真实性的方法叫做间接证法。间接证法有反证法和同一法两种。反证法的逻辑依据是排中律;两个互相矛盾的判断不能都是假的。应用反证法证明数学命题的一般步骤是:1分清命题的条件和结论；2作出否认命题的结论，与命题结论相矛盾的假设；3由命题的条件所作的假定，应用正确的推理方法导出矛盾的结果，通常是指：推出结果与的公