4.3 三角函数的图象与性质一、选择题1函数f(x)2sin xcos x是()A最小正周期为2 的奇函数B最小正周期为2 的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数解析f(x)2sin xcos xsin 2x.f(x)是最小正周期为的奇函数答案C2. 已知0，直线和是函数f(x)=sin(x+)图像的两条相邻的对称轴，则=( )A. B. C. D.答案A3函数f(x)(1tan x)cos x的最小正周期为()A2 B. C D.解析依题意，得f(x)cos xsin x2sin.故最小正周期为2.答案A4函数ysin在区间上()A单调递增且有最大值B单调递增但无最大值C单调递减且有最大值D单调递减但无最大值解析 由x，得x，则函数ysin在区间上是增函数，又，所以函数在上是增函数，且有最大值，故选A.答案A5已知函数f(x)sin(xR)，下面结论错误的是()A函数f(x)的最小正周期为2B函数f(x)在区间上是增函数C函数f(x)的图象关于直线x0对称D函数f(x)是奇函数解析ysincos x，T2，在上是增函数，图象关于y轴对称，为偶函数答案D6函数ysin2xsin x1的值域为()A1,1 B.C. D.解析(数形结合法)ysin2xsin x1，令sin xt，则有yt2t1，t1,1，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t及t1时，函数取最值，代入yt2t1可得y.答案C【点评】 本题采用换元法转化为关于新元的二次函数问题，再用数形结合来解决，但换元后注意新元的范围.7已知函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，.若f(x)的最小正周期为6，且当x时，f(x)取得最大值，则()Af(x)在区间2，0上是增函数Bf(x)在区间3，上是增函数Cf(x)在区间3，5上是减函数Df(x)在区间4，6上是减函数解析：f(x)的最小正周期为6，当x时，f(x)有最大值，2k(kZ)，2k，.f(x)2sin ，由此函数图象易得，在区间2，0上是增函数，而在区间3，或3，5上均没单调性，在区间4，6上是单调增函数答案：A二、填空题8定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x0，时，f(x)sin x，则f的值为_解析：fffsin.答案：9已知函数f(x)sin(x)cos(x)是偶函数，则的值为_解析(回顾检验法)据已知可得f(x)2sin，若函数为偶函数，则必有k(kZ)，又由于，故有，解得，经代入检验符合题意答案【点评】 本题根据条件直接求出的值，应将再代入已知函数式检验一下.10函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.解析(构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f(x)1，f(x)1为奇函数，则m1(M1)，所以Mm2.答案2【点评】 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用.注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解.11关于函数f(x)4sin(xR)，有下列命题：由f(x1)f(x2)0可得x1x2必是的整数倍；yf(x)的表达式可改写为y4cos；yf(x)的图象关于点对称；yf(x)的图象关于直线x对称其中正确命题的序号是_(把你认为正确的命题序号都填上)解析函数f(x)4sin的最小正周期T，由相邻两个零点的横坐标间的距离是知错利用诱导公式得f(x)4cos4cos4cos，知正确由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x代入得f(x)4sin4sin 00，因此点是f(x)图象的一个对称中心，故命题正确曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x时y0，点不是最高点也不是最低点，故直线x不是图象的对称轴，因此命题不正确答案12给出下列命题：正切函数的图象的对称中心是唯一的；y|sinx|，y|tanx|的最小正周期分别为，；若x1x2，则sinx1sinx2；若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f0.其中正确命题的序号是_解析 正切函数的对称中心是(kZ)；y|sinx|，y|tanx|的最小正周期都是；正弦函数在定义域R上不是单调函数；ffff，故f0.答案 三、解答题13. 已知函数f(x)2sinxcosx2sin2x1.(1)求函数f(x)的最小正周期及值域；(2)求f(x)的单调递增区间解析 (1)f(x)sin2xcos2xsin，则函数f(x)的最小正周期是，函数f(x)的值域是.(2)依题意得2k2x2k(kZ)，则kxk(kZ)，即f(x)的单调递增区间是(kZ)14已知f(x)sin xsin.(1)若0，且sin 2，求f()的值；(2)若x0，求f(x)的单调递增区间解析(1)由题设知，f()sin cos .sin 22sin cos 0，0，sin cos 0.由(sin cos )212sin cos ，得sin cos ，f().(2)f(x)sin，又0x，f(x)的单调递增区间为.15设函数f(x)sin(2x)(0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)求函数yf(x)的单调增区间解析(1)令2k，kZ，k，kZ，又0，则k，kZ，k1，则.(2)由(1)得：f(x)sin，令2k2x2k，kZ，可解得kxk，kZ，因此yf(x)的单调增区间为，kZ.16已知a0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间解析(1)x，2x.sin，2asin2a，af(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得a2，b5，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)0得g(x)1，4sin11，sin，2k2x2k，kZ，其中当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递增，即kxk，kZ，g(x)的单调增区间为，kZ.又当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递减，即kxk，kZ.g(x)的单调减区间为，kZ.