2九年级数学上册第一章一元二次方程教材 老师张全珍15985606467 学生姓名： 家庭联系电话：第1页：第一章一元二次方程 已知一块矩形草地的长比宽多12米，面积为540平方米，你能求出这块草地的长和宽吗？学完本章知识后，我们就可以解决上述问题了。第2页1.1建立一元二次方程模型动脑筋 问题一 如图1-1所示，某住宅区内有一栋建筑，占地为一边长为35米的正方形。现打算拆除建筑并在其正中间铺上一面积为900平方米的正方形草坪，使四周留出的人行道的宽度相等，问人行道的宽度为多少米？图1-2图1-1图1-3，4页A组3题图分析 我们可以建立方程的模型来计算人行道的宽度，如图1-2所示，设人行道的宽度为x米，则草坪的边长为_35-2x米.根据题意,可以列出方程 方程通过移项, 可以写成=0 .问题二 小明和小亮分别从家里出发骑车去学校,在离学校还有1千米处第一次相遇,此时他们的骑车速度分别为3米每秒和2米每秒.小明继续以3米每秒的速度匀速前进;而小亮则逐渐加快速度,以0.01米每二次方秒的加速度匀加速前进.已知匀加速运动求路程s的公式是,其中t是时间,是初速度的大小,是加速度的大小.你能算出经过多长时间他们再次相遇吗?第3页 分析 设经过t秒小明与小亮相遇,则在这段时间,小明骑车行驶的路程为3t米. 小亮骑车行驶的路程为2t+0.50.01t2_米.问题中的等量关系是小明行驶的路程 _ = _小亮行驶的路程_ .由此可列出方程. 方程可以写成 说一说 观察方程和,它们有什么共同点?(1)它们分别含有几个未知数?(2)它们分别是x和t的几次多项式? 从方程式和中受到启发,如果一个方程通过整理可以使右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫做一元二次方程,它的一般形式是,（,是已知数，）其中,分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项.例将方程3（一1）=5（+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项.解 去括号，得3一3=5+10。移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3一8一10=0。其中二次项系数为3、一次项系数为一8、常数项为一10.4页练习1、说出方程的二次项系数、一次项系数、常数项.解：二次项系数为0.01、一次项系数为-2、常数项为0. 2、把方程=0写成一般形式，然后说明其中的二次项系数、一次项系数、常数项.解：一般形式为4一140+325=0。二次项系数为4、一次项系数为-140、常数项为325.3、如果左边一列中的方程是右边一列中所说的类型，那么用线把它们连结起来：一元一次方程 一元二次方程 分式方程习题1.1A组1、把下列方程写成一般形式，并且分别指出它们的二次项式系数、一次项系数和常数项：（1）+5=6； （2）3一4=；（3）（10一2）（6一2）=32。解：（1）一般形式为+5-6=0。二次项系数为1、一次项系数为5、常数项为-6.（2）一般形式为-3+4=0。二次项系数为1、一次项系数为-3、常数项为4.（3）一般形式为-8+7=0。二次项系数为1、一次项系数为-8、常数项为7.2、如果一个数与比它大2的数的积等于35，列出这个数所满足的方程。解：设这个数为，由题意得（+2）=35，即+2-35=0。3、如图1-3，一幅图案的轮廓是长方形，其长为20厘米，宽为18厘米。现在把它镶进一个长方形框内，使四周留出的宽度相等。如果知道长方形框的面积为528平方厘米，你能列出计算四周留的宽度的方程吗？解：设四周留的宽度为cm，由题意得（20+2）（18+2）=528。第5页B组1、下列方程中，哪些是一元二次方程？（1） （2） （3）解：（1）3（1+2+）一3一7=0，3+3一4=0，是一元二次方程，（2）3（1+2+）一3一7=0，一+3=0，不是一元二次方程，（3），不是一元二次方程。2、从一座楼房的某个窗户下边框上掉下一个小球，该窗户下边框离地面30米。小球经过多少秒着地（精确到0.1秒）？（提示：小球降落的高度h与降落的时间t的关系式为）解：30=0.59.8，=300/49，=10/717.32/72.472.5。答：小球经过2.5秒着地。3、直角三角形中，斜边长为13cm，两条直角边的长相差7cm，求一条直角边所满足的方程。解：设较短的直角边长为cm，由题意得，+=169。4、如图1-4，长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3米。如果梯子底端向右滑动的距离与顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离所满足的方程。图1-4解，2-2=0，-=0。1.2解一元二次方程的算法1.2.1因式分解法，直接开平方法探究 如何解1.1节问题一中的方程：=0。 我们已学会解一元一次方程，自然会想：能不能把一元二次方程降低次数，转化为若干个一元一次方程呢？首先，观察方程的左边，可不可以通过因式分解把它表示成两个一次多项式的乘积？6页：可以用平方差公式，把方程的左边因式分解。先把方程写成。再把方程的左边因式分解，得（35-2+30）（35-2-30）=0，即（65-2）（5-2）=0。其次，我们知道：“如果pq=0，那么p=0，或q=0。”因此，从方程得65-2=0或5-2=0。最后分别解中的两个一元一次方程，得=32.5或=2.5。即方程有两个解，通常把它们记成=32.5，=2.5。对于问题一，容易看出=32.5不符合题意（为什么？）应当舍去；=2.5符合题意，即人行道的宽度为2.5m。上述解一元二次方程的方法叫做因式分解法。动脑筋 方程还有其他解法吗？把方程写成，这表明35一2是900的平方根，因此35一2=或35一2=一，即35一2=30或35一2=一30，解得=2.5或=32.5。7页：这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。例1、解方程：4一25=0。解（解法一）原方程可以写成。再把方程的左边因式分解，得（2+5）（2-5）=0，由此得出2+5=0或2一5=0。解得=一2.5，=2.5。（解法二）原方程可以写成=。直接开平方得=或=一。即= 2.5，=一2.5。例2、解方程：一2=0。解（解法一）如果我们想用因式分解法解这个方程，那么原方程可以写成一=0。把方程左边因式分解得。由此得出或 。解得=，= 。（解法二）如果我们想用直接开平方法解这个方程，那么原方程可以写成 =。8页：直接开平方得 x+1=或x+1 = 。解得=，= 。在解方程时，只要写出一种解法就行。请同学们自己小结这两种解法，并应用你的小结去解下面的练习题。练习：解下列方程：（1）9一49=0。（2）36一=0。（3）一16=0。（4）一3=0。解（1）（解法一）原方程可以写成。再把方程的左边因式分解，得（3+7）（3-7）=0，由此得出3+7=0或3一7=0。解得=一7/3，=7/3。（解法二）原方程可以写成=。直接开平方得=或=一。即= 7/3，=一7/3。解（2）（解法一）原方程可以写成。再把方程的左边因式分解，得（+6）（-6）=0，由此得出+6=0或一6=0。解得=一6，=6。（解法二）原方程可以写成=36。直接开平方得=6或=一6。即= 6，=一6。解（3）（解法一）原方程可以写成。再把方程的左边因式分解，得（+3+4）（+3-4）=0，由此得出+7=0或一1=0。解得=一7，=1。（解法二）原方程可以写成=16。直接开平方得+3=4或+3=一4。解得= 1，=一7。解（4）（解法一）原方程可以写成。再把方程的左边因式分解，得，由此得出或=0。解得=，=。（解法二）原方程可以写成=3。直接开平方得1-2=或1-2=一。解得= ，=。动脑筋 如何解1.1节问题二中的方程：。可以用提公因式法把方程的左边因式分解，得=0。由此得出=0或0.01一2=0。解得=0，=200。=0表明小明与小亮第一次相遇；=200表明经过200秒小明与小亮第二次相遇。例3解下列方程：（1）5+15=0；（2）=4。9页：解（1）把方程左边因式分解得5（+3）=0，由此得出5=0或+3=0。解得=0，=一3。（2）原方程可以写成一4=0，把方程左边因式分解得（一4）=0，由此得出=0或一4=0。解得=0，=4。说一说 小刚在解例3第（2）题的方程时，把方程两边同除以，得=4。这样做对吗？为什么？答：这样做不对，因为把方程两边同除以时，可能是0，这样就会失去一个根，从而导致结果漏根。例4、解下列方程：（1）（一5）=3；（2）2（5-1）=3（5-1）。解（1）原方程可以写成（一5）一3=0。把方程左边因式分解得（一5一3）=0。由此得出=0或一5一3=0。解得=0，=8。（2）原方程可以写成2（5-1）一3（5-1）=0。把方程左边因式分解得（5-1）（2一3）=0。由此得出5一1=0或2一3=0。解得=0.2，=1.5。10页：从例1至例4看到，解一元二次方程的基本方法之一是因式分解法，即通过移项使方程右边为0，然后把左边分解成两个一次因式的乘积，从而转化成一元一次方程，进行求解。练习1、解下列方程：（1）一7=0；（2）3=5。解（1）把方程左边因式分解得（一7）=0。由此得出=0或一7=0。解得=0，=7。（2）原方程可以写成3一5=0。把方程左边因式分解得（3一5）=0。由此得出=0或3一5=0。解得=0，=5/3。2、解下列方程：（1）2（一1）=1一；（2）5（+2）=4+8。解：（1）原方程可以写成2（一1）+一1=0，把方程左边因式分解得（-1）（2+1）=0。由此得出-1=0或2+1=0。解得=1，=-1/2。解：（1）原方程可以写成5（+2）-4（+2）=0，把方程左边因式分解得（+2）（5-4）=0。由此得出+2=0或5-4=0。解得=-2，=4/5。1.2.2配方法 做一做 把完全平方公式从右到左地使用，填上适当的数，使下列等式成立：（1）+6+=；（2）一6+=；（1）+6+4=+6+一+4=一 5 。探究 如何解下述一元二次方程：+6+4=0。11页：从例2受到启发，如果能把方程写成一 5 =0的形式，其中减去的数是正数，那么我们就可以用因式分解法或直接开平方法求解。从上面的第（3）题知道，这需要在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，即加上；为了保持相等，应当再减去。为此把方程写成+6+一+4=0，即把方程左边因式分解得，由此得出+3+=0或+3一=0。解得=一3一，=一3+。从上述看出，解方程的第一步是把它变形成方程，而这一步的关键是：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫做配方。配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了。这样解一元二次方程的方法叫做配方法。例5 把下列二次多项式配方：（1）+2一5；（2）一4+1。解（1）+2一5=+2+一一5= 。（2）一4+1=一4+一+1= 。例6、解下列方程：（1）+10+9=0；（2）一12一13=0。解（1）把原方程的左边配方，得+10+一一16=0，即 =0。把方程左边因式分解得12页：（+5+4）（+5-4）=0，由此得出+9=0或+1=0。解得=一9，=一1。（2）把原方程的左边配