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七年级上册期中知识点第二章 有理数比0小的数正数和负数 正数和负数的概念负数:比0小的数 正数:比0大的数 0既不是正数,也不是负数注意:字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。2. 具有相反意义的量若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:零上8表示为:+8;零下8表示为:-8表示的意义0表示“ 没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人;0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。 4.有理数定义:正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)分类:按有理数的意义分类 按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数有理数 有理数 0 (0不能忽视) 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数数轴1.定义:规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。注意:数轴是一条向两端无限延伸的直线;原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;同一数轴上的单位长度要统一;数轴的三要素都是根据实际需要规定的。2.数轴上的点与有理数的关系(1)所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。(2)所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点不是有理数)3.利用数轴表示两数大小在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。4.数轴上特殊的最大(小)数最小的自然数是0,无最大的自然数;最小的正整数是1,无最大的正整数;最大的负整数是-1,无最小的负整数5.数轴上点的移动规律根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。绝对值和相反数绝对值绝对值的几何定义一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。2.绝对值的代数定义一个正数的绝对值是它本身; 一个负数的绝对值是它的相反数; 0的绝对值是0.可用字母表示为:如果a0,那么|a|=a; 如果a0,那么|a|=-a; 如果a=0,那么|a|=0。可归纳为:a0, |a|=a (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。)a0, |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)3.绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以,a取任何有理数,都有|a|0。即 0的绝对值是0;绝对值是0的数是0.即:a=0 |a|=0;一个数的绝对值是非负数.即:|a|0;任何数的绝对值都不小于原数。即:|a|a;绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a0),则x=a;互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)4.有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。5.绝对值的化简当a0时, |a|=a ; 当a0时, |a|=-a 6.已知一个数的绝对值,求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。相反数1.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。2.相反数的代数定义:只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。注意:相反数是成对出现的;相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。3.相反数的性质与判定任何数都有相反数,且只有一个;0的相反数是0;互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=04.相反数的求法求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5);求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。化简得-5a-b);求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是-(-5),化简得5)5.相反数的表示方法一般地,数a 的相反数是-a ,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。当a0时,-a0(正数的相反数是负数)当a0(负数的相反数是正数)当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)6.多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。有理数的加法和减法1.有理数的加法法则同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两数相加,和为零;一个数与零相加,仍得这个数。2.有理数加法的运算律加法交换律:a+b=b+a加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:互为相反数的两个数先相加“相反数结合法”;符号相同的两个数先相加“同号结合法”;分母相同的数先相加“同分母结合法”;几个数相加得到整数,先相加“凑整法”;整数与整数、小数与小数相加“同形结合法”。3.加法性质一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0后的和等于原数。即:当b0时,a+ba 当b0时,a+ba 当b=0时,a+b=a4.有理数减法法则减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:a-b=a+(-b)。5.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如:(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的读法:按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”按运算意义读作“负8减7减6加5”6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:.把符号相同的加数相结合(同号结合法) (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) (将减法转换成加法)=-33+18-15-1+23 (省略加号和括号)=(-33-15-1)+(18+23) (把符号相同的加数相结合)=-49+41 (运用加法法则一进行运算)=-8 (运用加法法则二进行运算).把和为整数的加数相结合 (凑整法) (+-+-(+原式=(+(+ (将减法转换成加法)= (省略加号和括号)= (把和为整数的加数相结合)=4-10+ (运用加法法则进行运算)= (把符号相同的加数相结合,并进行运算)= (得出结论).把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)-+-+-原式=(-)+(-+)+(+-)=-1+0-=-1.既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合) (+-(-3)+(-3)-(-10)-(+原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)=+3-3+10-1=(3-1)+(-3)+10=2-3+10=-3+13=10.把带分数拆分后再结合(先拆分后结合)-3+10-12+4原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)=-1+=-1+-.分组结合2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69)=0.先拆项后结合(1+3+5+7+99)-(2+4+6+8+100)有理数的乘法与除法1.有理数的乘法法则法则一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)法则二:任何数同0相乘,都得0;法则三:几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数;法则四:几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0.2.倒数乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a=1(a0),就是说a和互为倒数,即a是的倒数,是a的倒数。注意:0没有倒数;求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。
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