江门市2012年普通高中高三调研测试数 学（理科）试 题本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高如果事件、互斥，那么一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的若全集，集合，则A BC D复数（是虚数单位）的虚部是A B C D函数（）的图象在A一、三象限 B二、四象限C一、二象限 D三、四象限已知（）为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，则的首项A B C D已知命题：“，且”，命题：“”。则命题是命题的图1A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分与不必要条件如图1，正方体中，、是的三等分点，、是的三等分点，、分别是、的中点，则四棱锥的侧视图为（注：只有选项C“一项是符合题目要求的”，选项A和D是重复错误）_D._C._B._A.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为，记第二次出现的点数为，向量，则和共线的概率为A B C D定义、的运算结果分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(M)、(N)所对应的运算结果可能是 (1) (2) (3) (4) (M) (N)A、 B、 C、 D、二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分(一)必做题（913题） 已知，若，若，则实数和满足的一个关系式是 ，的最小值为 在中，若，则 已知点和圆：，从点发出的一束光线经过轴反射到圆周的最短路程是 如图2所示的程序框图，其输出结果为 图3(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）如图3，圆是的外接圆，过点的切线交的延长线于点，则 （坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点，是极点，则的面积等于 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤（本小题满分12分）已知函数（其中，）的最大值为2，直线、是图象的任意两条对称轴，且的最小值为求，的值；若，求的值（本小题满分14分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重（单位：千克）情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图4），已知图中从左到右的前个小组的频率之比为123，其中第2小组的频数为12。图40.01250.0375求该校报考飞行员的总人数；以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中任选三人，设X表示体重超过60千克的学生人数，求X的分布列和数学期望。图5（本小题满分14分）如图5，长方体中，底面是正方形，是上的一点求证：；若平面，求三棱锥的体积；在的条件下，求二面角的平面角的余弦值（本小题满分12分）设双曲线的渐近线为，焦点在轴上且实轴长为1若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和等于，并且曲线：（是常数）的焦点在曲线上。求满足条件的曲线和曲线的方程；过点的直线交曲线于点、（在轴左侧），若，求直线的倾斜角。（本小题满分14分）、是方程的两根，数列是递增的等差数列，数列的前项和为，且（）求数列，的通项公式；记，求数列的前项和21（本小题满分14分）（注：本题第两问只需要解答一问，两问都答只计第问得分）已知函数是奇函数，且图像在点处的切线斜率为3（为自然对数的底数）求实数、的值；若，且对任意恒成立，求的最大值；当（，）时，证明：理科数学评分参考一、选择题 CDAD ACBB二、填空题 （3分），（2分） 三、解答题（以下解答供参考，等价或有效解答都要相应给分）解：2分，3分， ，所以4分，解得5分， 因为，所以6分7分， 由得8分，（或设，则，从而）10分11分， 12分解：设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为、，则3分， 解得4分因为3分， 所以6分由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为8分， 所以9分所以，1，2，311分0123随机变量的分布列为：13分 则(或：) 14分证明与求解：（方法一）连接，则1分，因为面，所以，2分，因为，所以平面3分，所以4分。连接，与类似可知6分，从而，7分，所以8分设，连接，则9分， 是二面角的平面角10分，由等面积关系知11分，12分，由知，13分，14分。（方法二）以为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系1分。依题意，3分，所以，4分，所以，5分。设，则6分，因为平面，平面，所以7分，所以，所以，8分，所以9分平面的一个法向量为10分，平面的一个法向量为12分，由图知，二面角的平面角的余弦值为14分。解：双曲线满足：1分， 解得2分则，于是曲线的焦点、3分，曲线是以、为焦点的椭圆，设其方程为4分，解得，即：5分，依题意，曲线的焦点为6分，于是，所以，曲线7分由条件可设直线的方程为8分，由得，由求根公式得：，9分，由得10分，于是，解得11分，由图知，直线的倾斜角为12分解：解得， ，因为是递增，所以，2分，解3分，得，所以4分在中，令得，5分，当时，两式相减得6分，是等比数列7分，所以8分9分10分11分两式相减得：13分，所以14分21解：是奇函数，所以，即2分，所以，从而3分，此时，4分，依题意，所以5分当时，设，则6分设，则，在上是增函数8分因为，所以，使10分，时，即在上为减函数；同理在上为增函数12分，从而的最小值为13分所以，的最大值为14分。要证，即要证6分，即证，8分，设，9分，则10分设，则11分，在上为增函数12分，从而，在上为增函数13分，因为，所以，所以14分