第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大函数的极值与最大(小小)值值第第3课时导数在函数有关问题及实际课时导数在函数有关问题及实际生活中的应用生活中的应用学习学习任务任务1进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用(数学运算)2能利用导数研究函数的性质、解决简单的实际问题(数学运算、逻辑推理)必备知识情境导学探新知01如图所示，海中有一座油井A，其离岸的距离AC1.2 km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC1.6 km现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元那么，铺设输油管的最少花费是多少？知识点1函数图象的画法函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质通常，按如下步骤画出函数f(x)的大致图象：(1)求出函数f(x)的_；(2)求导数f(x)及函数f(x)的_；(3)用f(x)的零点将f(x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的_，并得出f(x)的_与_；定义域零点正负单调性 极值(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的_；(5)画出f(x)的大致图象变化趋势知识点2用导数解决优化问题的基本思路2函数yx4x22的图象大致为()ABCD关键能力合作探究释疑难02类型1利用导数研究函数的图象类型2用导数研究方程的根类型3导数在生活实际问题中的应用A BC D反思领悟由解析式研究图象常用的方法根据解析式判断函数的图象时，综合应用各种方法，如判断函数的奇偶性，定义域、特殊值和单调性，有时还要用导数研究函数的极值点，甚至最值等ABCD母题探究(变条件)将本例改为“若方程axx(a0，a1)有两个不等实根”，试求a的取值范围反思领悟函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据函数零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的统一跟进训练2已知函数f(x)xe2x1，则函数f(x)的极小值为_，零点有_个1xf(x)0f(x)单调递减极小值单调递增类型3导数在生活实际问题中的应用【例3】(源于人教B版教材)如图所示，现有一块边长为1.2 m的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，则容器的容积V m3是截下的小正方形边长x m的函数(1)写出函数的解析式；(2)为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？思路引导当截去的正方形边长较短时，容器的底面积就会较大，高较小；反之，当截去的正方形边长较长时，容器的底面积就会较小，高较大但是容器的容积等于底面积乘以高，因此，为了使得容器的容积最大，必须寻找合适的x值解(1)根据题意可知，容器底面的边长为(1.22x)m，高为x m，于是V(1.22x)2x，又因为显然x的长度必须小于原有正方形边长的一半，因此0 x0.6，所以V(1.22x)2x，0 x0，可解得x0.2因此可知V在(0，0.2上单调递增，在0.2，0.6)上单调递减故V在x0.2时取得极大值，而且在此时取得最大值即截去的正方形边长为0.2 m时，容器的容积最大反思领悟解决最优问题应从以下几个方面入手(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点跟进训练3某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为x(0 x1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2，记改进工艺后该电子公司销售该配件的月平均利润是y(元)(1)写出y与x的函数关系式；解改进工艺后，每个配件的销售价为20(1x)元，月平均销售量为a(1x2)件，则月平均利润ya(1x2)20(1x)15(元)，y与x的函数关系式为y5a(14xx24x3)(0 x1)(2)改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大学习效果课堂评估夯基础031 12 23 34 41(多选)若函数f(x)ax3bx2cxd有极值，则导函数f(x)的图象可能是()ABCD1 12 23 34 4ABC若函数f(x)ax3bx2cxd有极值，即f(x)有极值点，则必须f(x)有零点，且f(x)在零点左右两侧异号由图象可知选项D中，f(x0)0，但当xx0，xx0时都有f(x)0，故不符合题意故选ABC1 12 23 34 41 12 23 34 43方程x36x29xm0恰有三个不等的实根，则实数m的取值范围是()A(，4)B(4，0)C(，4)(0，)D(0，)1 12 23 34 4B设f(x)x36x29x，可得f(x)3x212x93(x1)(x3)，令f(x)0，即(x1)(x3)0，解得x1或x3，令f(x)0，即(x1)(x3)0，解得1x3，所以函数f(x)在(，1)，(3，)上单调递增，在(1，3)上单调递减，1 12 23 34 4则当x1，函数f(x)取得极大值f(1)4，当x3，函数f(x)取得极小值f(3)0，要使得方程x36x29xm0恰有三个不等的实根，即函数yf(x)与ym的图象有三个不同的交点，所以0m4，解得4m0，即实数m的取值范围是(4，0)1 12 23 34 41 12 23 34 440回顾本节知识，自主完成以下问题：(1)用导数解决优化问题的实质是什么？提示生活中常常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称优化问题，用导数解决这些优化问题的实质是求函数的最值(2)用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是什么？提示审题：理解文字表达的题意，分析实际问题中各量之间的关系建模：将文字语言转化为数学语言，列出实际问题的数学模型；写出实际问题中变量之间的函数关系解模：把数学问题划归为求最值问题求函数的导数，解导数值为0的方程；比较函数在区间端点和使导数值为0的点处的函数值的大小即得最大(小)值写出答案注意：在将实际问题转化为数学问题时，要注意所设变量的取值范围(3)用导数解决实际问题中的最值问题应注意哪些事项？提示一是要注意考虑实际问题的意义，不符合题意的值应舍去二是在实际问题中，有时会遇到区间内只有一个点使f(x)0的情形，如果函数在该点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这是最大(小)值三是要注意问题中涉及的变量关系用函数式表示，以及确定函数关系式中自变量的定义域