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第1-3课时(周二周四3月2日-4日)课题:选修(2-2)1.1变化率与导数三维目标:1、 知识与技能(1)理解平均变化率的概念;(2)了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;(3)理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;(4)会求函数在某点的导数或瞬时变化率;(5)理解导数的几何意义。2、过程与方法(1)通过大量的实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数;(2)通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力;(3)通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。3、情态与价值观(1)通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识,培养学生思维的科学性、严密性,不断认识数形结合和等价转化的数学思想; (2) 通过运动的观点体会导数的内涵,使学生掌握导数的概念不再困难,从而激发学生学习数学的兴趣.(3)通过对变化率与导数的学习,不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神,提高参与意识和合作精神 教学重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成,导数及几何意义的理解。教学难点:在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率,导数及几何意义的理解。教 具:多媒体教学方法:合作探究、分层推进教学法教学过程:一、双基回眸 科学导入:前面我们学习了函数及几种重要的函数,而且我们学习的很多公式所展示的两个量之间的关系也是函数关系:下面找两个学生写出著名的函数二次函数的表达式和球的体积公式:n 二次函数n 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是函数很明确地描述了两个变量之间的因果关系。自变量的变化引起因变量的变化。下面我们来看这种变化的各种特点: 同学们,相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢, 从数学角度,如何描述这种现象呢? 容量的增加与气球的半径增加这两者的变化的关系和本质是怎样呢? 今天,我们就来通过此问题来研究这种变化的特点和规律。二、 创设情境 合作探究 :【首先来探究上面所提出的问题】我们已经提问过了气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是现将半径r表示为体积V的函数,那么【分析】, 当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为 当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 【再来探究一个问题高台跳水】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算:和的平均速度在这段时间里,;在这段时间里,【探究】计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:运动员在这段时间内使静止的吗?你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?【探究过程】如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知,所以,虽然运动员在这段时间里的平均速度为,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态【引出平均变化率的概念】一般地,函数f(x)在区间上的平均变化率为本质:如果函数的自变量的“增量”为,且,相应的函数值的“增量”为,则函数从到的平均变化率为几何意义:两点(x1,f(x1),(x2,f(x2) 连线的斜率(割线的斜率);平均变化率反映了在函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢),或说在某个区间上曲线陡峭的程度;【但我们想要知道的是在某处的瞬时速度】 下面继续探索:我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。在高台跳水运动中,如果我们知道运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在关系,那么我们就会计算任意一段的平均速度,通过平均速度来描述其运动状态,但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度,那么如何求运动员的瞬时速度呢?问题:2秒时的瞬时速度是多少?我们现在会算任意一段的平均速度,先来观察一下2秒附近的情况。时,在这段时间内时,在这段时间内当0.01时,13.051;当0.01时,13.149;当0.001时,13.095 1;当0.001时,13.104 9;当0.000 1时,13.099 51;当0.000 1时,13.100 49;当0.000 01时,13.099 951;当0.000 01时,13.100 049;当0.000 001时,13.099 995 1;当0.000 001时,13.100 004 9;。问题:1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗?关于这些数据,下面的判断对吗?2当趋近于0时,即无论从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值-13.1。3 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段上的平均速度;4 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段上的平均速度;5 -13.1表示在2秒附近,运动员的速度大约是-13.1。分析:秒时有一个确定的速度,2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度,所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理,比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理,因此,运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1。小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。【导数的概念】定义:函数在处瞬时变化率是,我们称它为函数在处的导数,记作。求导数的步骤:求函数的增量: 求平均变化率: 取极限,得导数: 上述求导方法可简记为:一差、二化、三极限。定义:当时,是一个确定的数,当变化时,是的函数,我们称它为的导函数(简称导数)即【小试牛刀】1 2 3设,若,则的值( )A 2 B 2C 3 D 34已知S=r2,求 已知V=,求 已知y=x2+3x求(1);(2) 求x=25在曲线的图像上取一点(1,2),及附近一点【导数的几何意义】函数在点的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率,也就是说,曲线在点处的切线斜率是,切线的方程为。三、互动达标 巩固所学:问题.1 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t 26.5t10,求运动员在t=2时的瞬时速度?【分析】我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。如何求运动员的瞬时速度?在t=2之前或之后,任意取一个时刻2+t,t可以是正值,可以是负值,当t趋于0时,平均速度有怎样的变化趋势?【解析】(见学案)【点评】学生可以分组讨论,上台板演,展示计算结果,同时口答:在t=2时刻,t趋于0时,平均速度趋于一个确定的值-13.1,即瞬时速度,第一次体会逼近思想;另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳,第二次体会逼近思想,为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即问题.2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时,原油温度(单位:)为计算第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。【分析】瞬时变化率与问题.1瞬时速度本质一样,所以做法一样。【解析】在第时和第时,原油温度的瞬时变化率就是和根据导数定义所以 同理可得:在第时和第时,原油温度的瞬时变化率分别为和,说明在第附近,原油温度大约以的速率下降在第附近,原油温度大约以的速率上升.【点评】一般地,反映了原油温度在时刻附近的变化情况.问题.3(1)求函数在处的导数.(2)求函数在附近的平均变化率,并求出该点处的导数.【分析】先求,再求,最后求.【解析】(1)法一 定义法(略) 法二 (2) 【点评】由此题可体现求导数的步骤及进一步认识与的关系和区别,通过这种近似与精确深刻理解导数的本质 为了进一步体现其抽象性及几何意义,同学们完成下列两题: 四、思悟小结:知识线:(1)平均变化率;(2)瞬时速度与瞬时变化率的概念;(3)导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;思想方法线:(1)定义法;(2)公式法;(3)近似与逼近思想;(4)数形结合思想与等价转化思想。题目线:(1)求平均变化率与瞬时变化率的问题;(2)求瞬时速度的问题;(3)求函数在某点的导数;(4)关于切线的问题。五、针对训练 巩固提高:1已知曲线上过点(2,8)的切线方程为,则实数的值为( )A 1 B 1 C 2 D 22函数在处的导数的几何意义是( )A 在点处的函数值 B 在点处的切线与轴所夹锐角的正切值C 曲线在点处的切线的斜率 D 点与点(0,0)连线的斜率.5 若f(x0)=a,(1)求的值。(2)求的值。6一作直线运动的物体其位移s与时间t的关系是。(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2秒时的瞬时速度; (3)求t=0到t=2时的平均速度。7已知一个物体运动的位移(m)与时间t(s)满足关系S(t)-2t2+5t求物体第5秒和第6秒的瞬时速度求物体在t时刻的瞬时速度求物体t时刻运动的加速度,并判断物体作什么运动?8求曲线f(x)=x3x2+5在x=1处的切线的倾斜角。110求切线斜率和切线方程已知,求曲线在处的切线斜率和切线方程已知,求曲线在处的切线斜率和切线方程11在曲线上过哪一点的切线,(1)平行于直线;(2)垂直于直线;(3)倾斜角为;(4)求过点R(1,3)与曲线相切的直线。
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