20xx-高三第二学期联考数学理试题 一选择题(本大题共8个小题；每小题5分，共40分)1. 已知是虚数单位，和都是实数，且,则（ ）A. B. C. D.2. 已知，则（）A.1 B. 2 C.3 D.53. 数列满足，若，则=（ ）A B C D4. 已知某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）A B4 C D6甲 乙8 5 4 1 8 6 7 9 7 5 4 9 0 1 4 5 66 5 10 0 5 55.甲、乙两所学校高三级某学年10次联合考试的理科数学成绩平均分用茎叶图如图所示，则甲乙两所学校的平均分及方差的大小关系为（ ）A BC D6. 如图，矩形内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是( ) A . B. C . D. 7. 下列命题中正确命题的个数是（ ）“数列既是等差数列，又是等比数列”的充要条件是“数列是常数列”；不等式表示的平面区域是一个菱形及其内部； f(x)是(，0)(0，)上的奇函数，x0时的解析式是f(x)2x，则x0时的解析式为f(x)2x；若两个非零向量共线，则存在两个非零实数，使.A4 B3 C2 D18. 定义在上的函数满足：为正常数）；当时，若函数的图象上所有极小值对应的点均在同一条直线上，则=（ ）A.1B.2C. 1或2D. 2或4二填空题(本大题共7小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（913题）9函数的定义域为集合，集合. 若，则实数的取值范围为 ；10.在的展开式中含项的系数为 ；（用数字作答） 11观察式子：,由此归纳出一个正确的一般结论为： ；12.定义某种运算,的运算原理如图所示,设,则输出的的最大值与最小值的差为 ；13 抛物线的焦点为，过点N(3,0)的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于，则与的面积之比为 ；（二）选做题 (考生只能选做一题)14极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是 15如图，圆的直径，为圆周上一点，过作圆的切线，过点作直线的垂线，为垂足，与圆交于点，则线段DE的长度为 三解答题16 （本小题满分12分）设函数.(I)求的最小正周期，并指出由的图像如何变换得到函数的图像；(II)中角A，B，C的对边分别为，若，求的最小值17 （本小题满分12分） 已知某校的数学专业开设了A,B,C,D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门。(I)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；(II)若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望18. （本小题满分14分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB平面ACD，DE平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1BADCE(I) 请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF平面ACD，并证明；(II)在(I)的条件下，求二面角F-BE-A的正弦值.19 （本小题满分14分）设数列是公比为正数的等比数列，数列满足：(I)求数列的通项公式；(II)求数列的前n项和；（III）数列满足：，求证：20 （本小题满分14分）已知点P是椭圆上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点， O为坐标原点，动点Q满足，。(I)求动点Q的轨迹E的方程；(II)若与坐标轴不垂直的直线交轨迹E于两点且，求三角形面积的取值范围。21. （本小题满分14分）已知函数,()当时，存在 （e为自然对数的底数）,使,求实数a的取值范围;(II)当时,(1)求最大正整数n,使得对任意个实数,当（e为自然对数的底数）时,都有成立; (2)设,在的图象上是否存在不同的两点,使得.数学(理科)参考答案一、选择题：（8小题，共40分）题号12345678答案AAACDBBC8.【解析】由已知可得，当时，当时，当时，由题意可知函数的图象上所有极小值对应的点共线，则二、填空题：（共6小题，共30分） 9. 10. 20 11. 12. 2 13. 14. 15. 2三解答题16解：(I)3分的最小正周期 4分 由的图像向右平移个单位长度得到函数 6分(II)由 由A(0，)，可得A. 8分由bc2及余弦定理，得b2c22bccos (bc)23bc=43bc， 10分又仅当bc1时bc取最大值，此时取最小值1. 12分17解：(I) 3名学生选择的选修课所有不同选法有种； 2分 各人互不相同的选法有种，互不相同的概率: ; 4分(II) 选修课A被这3名学生选修的人数X：0，1,2,3, 5分 ， 9分所以X的分布列为X0123P 10分 数学期望 12分18.解法一：（I）由已知AB平面ACD，DE平面ACD，AB/ED， 设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点， 连接FH，则， 2分四边形ABFH是平行四边形， 由平面ACD内，平面ACD， 4分平面ACD； 5分BADCGEK（II）取AD中点G， 由已知可得平面平面，且交于 , 平面ACD平面过G作交BE于K,连CK 8分由三垂线定理知, 又平面BEA,平面FBE为二面角F-BE-A的平面角 10分由（I）已证AB/ED，知又AB=1,DE=AD=2所求角的正弦值为. 14分或解：（II）由已知条件可知即为在平面ABED上的射影，设所求的二面角的大小为，则， 8分由已知求得BC=BE，CE， 10分而， 12分所求角的正弦值为.14分解法二：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得轴和轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为，2分BADCFE(I)点F应是线段CE的中点，下面证明：设F是线段CE的中点，则点F的坐标为，显然与平面平行，又 5分 BF平面ACD 6分(II) 设平面BCE的法向量为，则，且，由，不妨设，则，即， 10分而平面的一个法向量为， 11分，设二面角F-BE-A的平面角为,则所求角的正弦值为. 14分19解：(I)设数列的公比为，由，得，即 2分解得或， 3分不合舍去，； 4分(II)由得， 6分数列是首项公差的等差数列， 7分 8分（III）由(I)(II)有 9分 时， 12分 所以，原不等式成立。 14分其它解法如：,又如等参照上面给分20解：(I)如图由，又22， 2分设Q(x，y)，则(x，y)， 4分即P点坐标为，又P在椭圆上，则有，即. 6分(II) 当斜率不存在或为零时，由图可知 7分当斜率存在且不为零时，设：，代入 得 8分 以代换同理可得 9分 10分 11分当且仅当时等号成立。而时，与轴或轴垂直，不合题意。 13分而三角形面积的取值范围为 14分21解:(I) 1令 则 当时, 当时, 4分(II) (1)均为增函数的