.(图9.7-1)中考复习(二次函数与几何)【考试目标导引】重点、热点运用函数知识与几何知识解决数学综合题的能力.目标要求初步运用代数知识研究一些简单的几何性质.【命题趋势分析】例1(1)（2002嘉兴市）如图9.7-1半圆O的直径AB=4，与半圆O内切于点M，设O1的半径为y，AM的长为x，则y关于x的函数关系式是_.(要求写出自变量的取值范围). (2)(2002绍兴市)抛物线与x轴交于A，B两点，Q（2，k）是该抛物线上一点，且AQBQ，则ak的值等于（ ）（A）1 （B）2 （C）2 （D）3【特色】这两道题都是在基础题中考查二次函数与几何知识的综合运用能力.【解答】（1）连结OO1，则延长OO1交两圆于切点N，连结MO1.于是MO=2-x,MO1=y, OO1=2-y，在RtMOO1中，MO2+ MO12= OO12即. （2）设抛物线与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点，QMx轴于M点.在RtABQ中,由射影定理得：，故得:,又因点Q（2，k）在该抛物线上，所以4a+2b+c=k. 由得：ak=-1.选A【拓展】第（1）题中注意到当x=2时，显然y=1满足方程；当x2时MO=x-2，结论依旧成立.图9.7-2例2（2002南昌市）已知抛物线与x轴的两个交点分别为A(m,0)，B(n,0)且m+n=4,.(1) 求此抛物线的解析式；(2) 设此抛物线的顶点为D，与y轴的交点为C（如图9.7-2），试判断四边形是怎样特殊四边形，并证明你的结论.【特色】考查学生在二次函数图象中研究处理四边形、三角形的能力.【解答】（1）由 解得将A(1,0),B(3,0)的坐标代入，得解得此抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.（2）答：四边形是直角梯形.证明：抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3），OC=OB.BOC=90,OCB=OBC=45过点D作y轴的平行线交x轴于点E,顶点的坐标为（2，1）.DEAB,AE=EB=DE=1,DAE=DBA=45,ADB=90DAB=OBC=45,ADBCBAC90,ABD=45AC与BD不平行.四边形ACBD是直角梯形.图9.7-3【拓展】当抛物线的顶点、抛物线与x轴的两个交点,此三点所构成的三角形为直角三角形时，则有=4；反之亦然.在如图所示的ADB中，若ADB为直角三角形,则. ，=4.例3（2002浙江省金华市）如图9.7-3，在ABC中，AC=15，BC=18，sinC=，D是AC上任意一动点（不运动到点A，C），过点D作DEBC，交AB于E，过点D作DFBC，垂足为F，连结BD，设CD=x.（1）用含X的代数式分别表示DF和BF；（2）如果梯形EBFD的面积为S，求S关于x的函数关系式；（3）如果BDF的面积为S1，BDE的面积为S2，那么x为何值时，S1=2S2.【特色】此题是在几何运动中构建函数关系式，并研究其性质的一类综合题.【解答】AB是M切线，D是切点，MDAB.MDA=AOB=90.又MAD=BAO，ADMAOB（2）直线y=-2x+12与x轴交点为B（6，0），与y轴交点为A（0，12）.OA=12，OB=6，AB=.ADMAOB，.点M（0，2）设顶点为，且过点M的抛物线是，则，a=-2,即.【拓展】（1）、（2）两小题是由点在线段上运动来建立函数关系，（3）小题是在（2）小题“动”的基础上求“静”，但是在处理方法上常常用以“静”制“动”的解题策略.【中考动向前瞻】二次函数与几何问题大多以压轴题出现在中考题中，综合考查了学生运用函数中变量的思想处理几何中的运动变化规律，这也是数形结合思想.在2003年的试题设计中,我们认为这仍是一个方向.【中考佳题自测】1（2002南宁市）已知开口向上的抛物线与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点，x1和x2是方程的两个根(x1x2)，而且抛物线与y轴交于C点，ACB不小于90.BxyOC(图9.7-4)（1）求点A、点B的坐标和抛物线的对称轴；A（2）求点C的坐标（用含的代数式表示）；（3）求系数a的取值范围.1.（1）A（-3，0） B（1，0）对称轴为x=-1. (提示:解方程得x1=-3,x2=1.) (2)C(0,-3a) (提示:由A、B在抛物线上得消去b，得c=-3a.) (3) (提示:由ACB=90,BOCCOA,OC2=OAOB=31=3,OC=.)2（2002黄冈市）已知：如图9.7-5，抛物线经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E.（1） 求抛物线的解析式；(图9.7-5)（2） 求四边形ABCD的面积；（3） AOB与BDE是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由；（4）设抛物线的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线经过点E（抛物线与抛物线不重合），且顶点为M（a，b），对称轴与x轴相交于点G，且以M，G，E为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值（只需写出结果，不必写出解答过程）.2.（1）.（提示：用待定系数法解.） （2）9.（提示：如图OA=1,OB=3,DF=4,OE=3,EF=2,)(3)过B作BKDF于K，则BK=OF=1， DK=DF-OB=1,BD=;AB=,BE=3;,AOBDBE.(4)3（2002四川省广安市）一次函数y=-2x+6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点C；二次函数(a0)的图象过A、C两点，并且与x轴交于另一点B（B在负半轴上）.（1）当时，求抛物线解析式和此函数顶点坐标.（2）以OA的长为直径作M，试判定M与直线AC的位置关系，并说明理由.O1DCAB.O2O.O1CyxBA.O2图2图1(图9.7-6)3.（1）抛物线解析式为y=-2x2+4x+6 ,顶点坐标为（1，8）(提示:在直线y=-2x+6中，令x=0,y=6;y=0,x=3. A(3,0),C(0,6)设B的坐标（x,0）,且x0, ，3（-x+3）=4（-3x），x=-1.B（-1，0）.再把A、B、C三点坐标代入抛物线方程求出a、b、c的值.)（2）M与AC位置关系是相交，理由：过M作MDAC交AC于D，AMDAOC.MD=.r,由、得R=5，r=.O1、O2的坐分别为（-4，-5）、（1，-）.直线O1O2的解析式为y=.抛物线的顶点坐标为（，），而当x=时，y=抛物线的顶点落在两圆的连心线上.【中考新题演练】1.已知抛物线与x轴交于A、B两点，P是抛物线的顶点.（1） 当PAB面积为时，求此抛物线的解析式.（2） 是否存在实数m，使PAB是等边三角形，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由. 1.（1）（提示：.） （2）m=（提示：PAB是等边三角形.）(图9.7-7)2.如图在平面直角坐标系中，正方形OABC边长为2cm，点A、C分别在y轴的正半轴上和x轴的正半轴上，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点，且顶点到x轴的距离为.（1）求抛物线的解析式；（2）如果点P由A点开始沿AB边以2厘米/秒的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1厘米/秒的速度向点C移动，移动开始后第t秒时，设S=PQ2（厘米2），试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；当S取最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形.如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由.2.（1）.（提示：由A（0，2）、B（2，2）得出对称轴方程为x=1,利用顶点式求解.） （2），（0t1）；当t=时，S最小.此时存在点R，其坐标为（，-）Oxy（图9.7-8）3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，（1）求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线.（2）若点（x0,y0）在抛物线上，且0x04,试写出y0的取值范围.（3）设平行于y轴的直线x=t交线段BM于点P（点P能与点M重合，不能与点B重合）交x轴于点Q，四边形AQPC的面积为S. 求S关于t的函数关系式以及自变量t的取值范围； 求S取得最大值时,点P的坐标； 设四边形OBMC 的面积S/,判断是否存在点P，使得SS/,若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.（1），其顶点坐标为（1，4） (提示:用待定系数法求解.) （2）-5y04 (提示:当0x04时，x=1时，y有最大值.) （3），（0t1）,在0t1时，t=1时S有最大值5.此时P（1，4）. S=，而S的最大值为5.所以不可能存在点P，使得S=S.4.已知一抛物线经过O(0，0)、B(l，l)两点，如图 9.7-8 ，且解析式的二次项系数为(a0).(1)求该抛物线的解析式(系数用含a的代数式表示)；(2)已知点A(0，l)，若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N(异于原点)，求点M、N的坐标(用含a的代数式表示)；(3)在(2)的条件下，以O、N、B、M为顶点的四边形面积为一常数值，求a的取值范围.在此条件下并判断是否存在以MB为弦，与x、y轴同时相切的P，若存在，求出抛物线解析式，若不存在，说明理由. (图9.7-9)4.（1）设，则有：. （2）M（a，1）、N（