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14.2.1 正比例函数 教学内容 本节课主要内容是正比例函数的研究,讨论这种函数的定义、图象和增减性 教学目标 1知识与技能 领会正比例函数的定义,会从实际问题中提炼出正比例函数的解析式 2过程与方法 经历探索正比例函数的过程,发展学生的类比思维 3情感、态度与价值观 培养由此及彼地认识问题的能力,体会事物的抽象性以及正比例函数的实际应用价值 重、难点与关键 1重点:正比例函数 2难点:正比例函数性质的理解 3关键:从实际问题出发,从中提炼出函数的模型 教具准备 投影仪、幻灯片 教学方法 采用“情境导入建立模型”的方法,让学生从实际生活中感知正比例函数概念 教学过程 一、回顾交流,探索新知 【知识回顾】 教师叙述:在小学我们学过正比例关系,小学数学是这样陈述的:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它的关系叫做正比例关系,写成式子是=k(一定),在小学k是大于零的数 【投影显示】 问题探究1:1996年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环:4个月零1周后,人们在2.56万米外的澳大利亚发现了它 (1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米(精确到10千米)? (2)这只燕鸥的行程y(单位:千米)与飞行时间x(单位:天)之间有什么关系? (3)这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米? 【教师活动】操作投影仪,引导、启发学生,提问,参与讨论 【学生活动】合作探究,寻求答案,实际上这只燕鸥大约平均每天飞行的路程不小于25600(304+7)200(km);假设这只燕鸥每天飞行路程为200km,那么它的行程y(单位:千米)就是飞行时间x(单位:天)的函数,函数解析式为y=200x(0x127);这只燕鸥飞行1个半月的行程,大约是x=45时函数y=200x的值,即y=20045=9000(km) 【评析】教师在巡视中参与学生的讨论,对有不同想法的学生,鼓励他们发言,从而提供讨论素材,学生刻画出燕鸥的飞行路程,y=200x尽管只是近似的,教师应强调:它可作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型 【教学形式】生生互动,师生对话 【投影显示】 问题探究2:下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?这些函数有什么共同点? (1)圆的周长L随半径r的大小变化而变化:(L=2r) (2)铁的密度为7.8g/m3,铁块的质量m(单位:g)随它的体积V(单位:cm3)的大小变化而变化;(m=7.8V) (3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随这些练习本的本数n的变化而变化;(h=0.5n) (4)冷冻一个0的物体,使它每分下降2,物体的温度T(单位:)随冷冻时间t(单位:分)的变化而变化;(T=-2t) 【教师活动】操作投影仪,关注中等学生的思维,启发引导“学困生”,并要求学生注意这四个函数式的特征 【学生活动】独立地完成思考题,踊跃上讲台演示,交流自己的做法 【特征归纳】正如y=200x一样,上述函数都是常数与自变量的乘积的形式 【形成定义】一般地,形如y=kx(k是常数,k0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数 【教学形式】互动交流,讲练结合 二、范例点击,提高认知 【投影显示】 【例1】画出下列正比例函数的图象 (1)y=2x (2)y=-2x 【教师活动】动手操作示范,边画边讲述作图的步骤:(1)列表表示几组对应值;(2)描点;(3)连线画出y=2x图象后,让学生画y=-2x图象,并且引导学生进行比较(见课本图142-1,图142-2) 【学生活动】先观看教师的操作,然后独立地画出y=-2x的图象 【观察与比较】 教师口述:请同学们比较上面两个函数的图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律 填写你发现的规律:两图象都是经过原点的直线函数y=2x的图象从左向右(上升),经过第(一、三)象限;函数y=-2x的图象从左向右(下降),经过第(二、四)象限 【学生活动】观察比较,寻求规律,总结方法 三、随堂练习,巩固深化 课本P112练习 【形成性质】(投影显示) 一般地,正比例函数的y=kx(k是常数,k0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx当k0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大;当k0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即随着x的增大反而减小 【教师提问】经过原点与点(1,k)的直线是哪个函数的图象?画正比例函数的图象时,怎样画最简单?为什么? 【思路点拨】一般地,一次函数的图象是一条直线,在前面画一次函数的图象时,采用先列表、描点、再连线的方法现在我们明确了一次函数的图象都是一条直线,因此,在画一次函数的图象时,只要在坐标平面内描出两个点,就可以画出它的图象了 【学生活动】回答教师提出的问题,并通过探讨,得到画正比例函数的最简单方法: (1)先选取两点,通常选出(0,0)与点(1,k); (2)在坐标平面内描出点(0,0)与点(1,k); (3)过点(0,0)与点(1,k)做一条直线 这条直线就是正比例函数y=kx(k0)的图象 四、随堂练习,消化理解 课本P113练习 五、课堂总结,发挥潜能 1正比例函数y=kx图象的画法:过原点与点(1,k)的直线即所求图象 2正比例函数的性质(由学生归纳) 六、布置作业,专题突破 1课本P120习题142第1、2、3题 2选用课时作业设计 板书设计 本节课可以将黑板分成两份,左边部分板书正比例函数概念和图象、性质,右边部分板书范例 疑难解析 应从实际出发引入正比例函数概念,由于正比例函数在数量关系上具有典型性,实际背景并不复杂,教学时应紧紧抓住实际问题的背景,弄清解析式中各字母的意义,知道常量、变量、自变量、函数,这里应注意正比例函数中自变量可以是任意实数,关于正比例函数增减性的严格证明并不要求,但是还是要用适当的式子证明,从数形方面加深对这个性质的理解 第一课时作业设计 一、填空题 1正比例函数y=kx,(1)若比例系数为-,则函数关系式为_;(2)若点经过(5,-1),则函数关系式_ 2已知函数y=(m-2)xm-1,(1)m_时,y是x的正比例函数;(2)若点P(-2,b)在(1)中所求的函数图象上,则b=_,OP的长为_ 3某商店进了一批货,每件2元,出售时,每件加利润5角如果售出x件,应收货款y元,则y与x的函数关系式为_ 二、解答题 4有一个物体沿一个斜坡下滑,它们速度y(米/秒)与其下滑时间x(秒)的关系如图所示 (1)写出y与x之间的关系式;(2)下滑3秒时物体的速度是多少?5写出如图中直线L所表示的变量x,y之间的关系式 三、聚焦中考 6“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点,用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下列图象中与故事情节相吻合的是( )答案:一、1(1)y=-x (2)y=-x 2略 3y=2.5x(x取正整数)二、4(1)y=2.5x (2)7.5米/秒 5y=x三、6D.
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