专题10.2 复数【考纲要求】1.复数的概念(1)通过方程的解，认识复数(2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义2.复数的运算掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.【知识清单】1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数；若b0，则abi为虚数；若a0且b0，则abi为纯虚数一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(4)复数的模：向量的模r叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR) 平面向量.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i (cdi0)(2)复数加法的运算定律设z1，z2，z3C，则复数加法满足以下运算律：交换律：z1z2z2z1；结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)常用结论(1)(1i)22i，i，i.(2)baii(abi)(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)；i4ni4n1i4n2i4n30(nN*)(4)共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).*数的三角形式、运算及其几何意义1复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数zabi都可以表示成r(cos isin )的形式，其中，r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数zabi的辐角，我们规定在02范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作arg zr(cos isin )叫做复数zabi的三角表示式，简称三角形式abi叫做复数的代数表示式，简称代数形式2复数三角形式的乘、除运算若复数z1r1(cos 1isin 1)，z2r2(cos 2isin 2)，且z1z2，则(1)z1z2r1(cos 1isin 1)r2(cos 2isin 2)=r1r2cos(12)isin(12)(2) cos(12)isin(12)即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.【考点梳理】考点一 ：复数的有关概念与性质【典例1】（2020全国高三其他（文）若复数，则下列结论正确的是（ ）AB的虚部为CD【典例2】（2020浙江省高考真题）已知aR，若a1+(a2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ）A1B1C2D2【总结提升】求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi(a，bR)的形式，再根据题意求解【变式探究】1.（2019全国高考真题（文）设z=i(2+i)，则=（ ）A1+2iB1+2iC12iD12i2.（2019江苏高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_.考点二 ：复数的几何意义【典例3】（2019全国高考真题（理）设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【典例4】（2020北京高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）ABCD【总结提升】1复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b).2由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观3. 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)复数zabi(a，bR) 平面向量.4.提醒：|z|的几何意义：令zxyi(x，yR)，则|z|，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离【变式探究】1.（2017北京高考真题（理）若复数（1i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）A（，1）B（，1）C（1，+）D（1，+）2（2019全国高考真题（理）设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）ABCD考点三：复数的四则运算【典例5】（2020全国高考真题（理）若z=1+i，则|z22z|=（ ）A0B1CD2【典例6】（2019全国高考真题（文）若，则（ ）ABCD【总结提升】复数四则运算的解题策略(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化(3)在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设zabi，a，bR，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.（4）注意应用：(1i)22i；i,i.【变式探究】1.（2018全国高考真题（文）（ ）ABCD2.（2020海南省高考真题）（ ）A1B1CiDi考点四：数的三角形式、运算及其几何意义*【典例7】把下列复数的代数形式化成三角形式：(1)i；(2)i.【典例8】计算：(1)84；(2)(cos 225isin 225)(cos 150isin 150)；(3)4.【规律方法】1.复数的代数形式化为三角形式的步骤（1）先求复数的模.（2）决定辐角所在的象限.（3）根据象限求出辐角.（4）求出复数的三角形式.2.提醒：(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2的整数倍(2)复数0的辐角是任意的(3)在02范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作arg z，且0arg z2.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等（5）一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值. 3.复数的三角形式zr（cos isin ）必须满足“模非负、余正弦、相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角.如（2）小题.4.三角形式运算：（1）乘法法则：模相乘，辐角相加（2）除法法则：模相除，辐角相减（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍拓广：(1)有限个复数相乘，结论亦成立即z1z2znr1(cos 1isin 1)r2(cos 2isin 2)rn(cos nisin n)r1r2rncos(12n)isin(12n)(2)当z1z2znz时，即r1r2rnr，12n，有znr(cos isin )nrn(cos nisin n)，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍【变式探究】1. 在复平面内，把复数3i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数2.分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式（1）4；（2）2【规律方法】两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角2(如果20，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.第2页，总7页