实验数据处理的基本方法数据处理是物理实验报告的重要组成部分，其包含的内容十分丰富，例如数 据的记录、函数图线的描绘，从实验数据中提取测量结果的不确定度信息，验证 和寻找物理规律等。本节介绍物理实验中一些常用的数据处理方法。1列表法将实验数据按一定规律用列表方式表达出来是记录和处理实验 数据最常用 的方法。表格的设计要求对应关系清楚、简单明了、有利于发现相关量之间的物 理关系；此外还要求在标题栏中注明物理量名称、符号、数量级和单位 等；根 据需要还可以列出除原始数据以外的计算栏目和统计栏目等。最后还要求写明表 格名称、主要测量仪器的型号、量程和准确度等级、有关环境条件参数如温 度、 湿度等。本课程中的许多实验已列出数据表格可供参考，有一些实验的数据表格需要自己设计，表1 .7 1是一个数据表格的实例，供参考。表1.71数据表格实例杨氏模量实验增减砝码时，相应的镜尺读数增直时谨魏CX10 P 町减重时诵敢X1Q r m 】两次洙数平均Hi CX10 弋 m乩=Hi 4-S 一叫DHD p m )Sii 平均恒页二壬二2作图法作图法可以最醒目地表达物理量间的变化关系。从图线上还可 以简便求出 实验需要的某些结果（如直线的斜率和截距值等），读出没有进行观测的对应点 （内插法），或在一定条件下从图线的延伸部分读到测量范围以外的对应 点（外 推法）。此外，还可以把某些复杂的函数关系，通过一定的变换用直线图表示出 来。例如半导体热敏电阻的电阻与温度关系为 ，取对数后得到,若用半对数坐标纸，以lgR为纵轴，以1/T为横轴 画图，则为一条直线。要特别注意的是，实验作图不是示意图，而是用图来表达实验中得到的物理 量间的关系，同 时还要反映出测量的准确程度，所以必须满足一定的作图要求。1）作图要求（1）作图必须用坐标纸。按需要可以选用毫米方格纸、半对数坐标纸、对 数坐标纸或极坐标纸等。（2）选坐标轴。以横轴代表自变量，纵轴代表因变量，在轴的中部注明物 理量的名称符号及其单位，单位加括号。（3）确定坐标分度。坐标分度要保证图上观测点的坐标读数 的有效数字 位数与实验数据的有效数字位数相同。例如，对于直接测量的物理量，轴上最小 格的标度可与测量仪器的最小刻度相同。两轴的交点不一定从零开始，一 般可 取比数据最小值再小一些的整数开始标值，要尽量使图线占据图纸的大部分，不 偏于一角或一边。对每个坐标轴，在相隔一定距离下用整齐的数字注明分度（参 阅图1.7 1）。（4）描点和连曲线。根据实验数据用削尖的硬铅笔在图上描点，点子可 用“ + ”、“X”、“”等符号表示，符号在图上的大小应与该两物理量的不 确定度大小相当。点子要清晰，不能用图线盖过点子。连线时要纵观所有 数据 点的变化趋势，用曲线板连出光滑而细的曲线（如系直线可用直尺），连线不能 通过的偏差较大的那些观测点，应均匀地分布于图线的两侧。（5）写图名和图注。在图纸的上部空旷处写出图名和实验条件等。此外， 还有一种校正图线，例如用准确度级别高的电表校准低级别的电表。这种图要附 在被 校正的仪表上作为示值的修正。作校正图除连线方法与上述作图要求不同 外，其余均同。校正图的相邻数据点间用直线连接，全图成为不光滑的折线（见 图1 .7 1）。这是因为不知两个校正点之间的变化关系而用线性插入法作 的近似处理。图1.71 校准曲线图示例2）作图举例表1. 7 2所列数据是测量约利秤弹簧伸长与受力的关系。测量弹簧长度 使用带有0.1mm游标的米尺。加外力使用的是5个2 0 0 mg的4级砝码， 其误差限很小，对测量结果的不确定度的影响可以忽略。表1.72 弹簧伸长与受力关系数据表魂)增重位豊 fn m)film )平均僮置Linin )058.261.259.720072.875.274.040087.28.488.3600101,0103.8102,4S00115.7117.1116.41 000129.412.4129.作图示例见图1.7 2。图1.72作图示例如果所作图线是一条直线，可以按以下方法求直线的斜率和截距。直线方程为y = ax + b其斜率1.71)在所作直线上选取相距较远的两点 P 、P ，从坐标轴上读取其坐标值 P（X，1 2 1 1Y）和P （X, Y）代入式（1.7 1 ），可求得斜率dP、P两点一般不取1 2 2 2 1 2原来测量的数据点。为了便于计算，X、X两数值可选取整数。在图上标出选取12的P、P点及其坐标。斜率的有效数字位数要按有效数字运算规则确定。12图1.71例中劲度系数截距b为x=0时的y值，可直接用图线求出。但有的图线x轴的原点不在图 上，用延长图线的办法，如果延得太长，稍有偏斜会导致b有很大误差。这时, 可采取从图线上再找一点P （X，Y），利用关系式333求得截距b。用作图法表述物理量间的函数关系直观、简便，这是它的最大 优点。但是 利用图线确定函数关系中的参数（如直线的斜率和截距）仅仅是一种粗略的数据 处理方法。这是由于：作图法受图纸大小的限制，一般只能有3、4位 有效 数字；图纸本身的分格准确程度不高；在图纸上连线时有相当大的主观任意 性。因而用作图法求取的参数，不可避免地会在测量不确定度基础上增加数据处 理过程引起的不确定度。一般情况下，用作图法求取的参数，只用有效数字粗略 地表达其准确度就可以了。如果需要确定参数测量结果的不确定度，最好采用直 接由 数据点去计算的方法（如最小二乘法等）求得。3）曲线改直按物理量的关系作出曲线虽然直观，但是作图和从图线中获得有关参数却比 较困难。许多函数形式可以经过适当变换成为线性关系，即把曲线改成直线，这 样既便于作图，也便于求得有关参数。举例如下。(1) y=axb,d、b 为常数，则 lgy=lgd + blgx，则 lgylgx 直 线的斜率为b,截距为lgd。(2) y=ae-bx,a、b 为常数，则lgy=lgdbx/ 2.30, lgy x直 线的斜率为一b/2. 30,截距为lg ao(3) y=abx,d、b 为常数，则 lgy=lgd+(lgb)x, lgy x直 线的斜率为lgb，截距为lgd。(4) y2=2px,p为常数，改变后，y=y2px,则y为jx的线性函 数。(5) l/y = a/ x + b, a. b为常数，贝J1 / y1/x直线的斜率为d, 截距为b。4) 用对数坐标纸作图在某些情况下,变量变化范围很大,或者两物理量之间的关系 为指数函数 或幂函数时,利用对数坐标纸作图往往更为方便。对数坐标纸的分度与所表示量 的对数值成正比，其每一循环(1,2,3,，9,1 )对应于一个数量级， 简称级。用对数坐标纸作图时,可根据数据的覆盖范围选取不同的级。全对数坐 标纸两个坐标轴都以对数间距分度；半对数坐标纸仅一个坐标以对数间距分 度, 而另一坐标仍以毫米均匀分度。曲线改直例(1)可用全对数坐标纸作图。如用实验研究弹簧振子周期T与 振子质量m的关系。令T二Ama A和a待定，测得振子质量m与振动周期T的 数据后，就可以用全对数坐标纸作图，还可从图中确定A与a的值。图1 .7 2是在半对数坐标纸上作的半导体热敏电阻的R1/T关系图(半 导体热敏电阻电阻值随温度变化数据见表1. 7 3)。因该元件的电阻温度关系为，在普通坐标纸作图将是一条指数曲线，而在半对数纸上作图即为一条直线。图1.73半对数坐标纸作图示例表1.73半导体热敏电阻电阻值随温度变化数据tV8.1020.8029038.4051.2060.3082.50n.ooT (E275.3528L25293.95303.053LL55324.35333.45342.35355.65飙15372.853.S323.5553.4023.3DO3.2103.0832992.92L2.81227462.682R園1 604L 333诞X5588 J14M364J300.3232 J2017也33 最小二乘法用作图法处理实验数据获得直线的斜率和截距等重要参数虽然 简单明了， 但是存在相当大的主观成分，结果也往往因人而异。最小二乘法则是一种比较精 确的直线拟合方法。它的依据是：对于等精度测量若存在一条最佳拟合直 线， 那么各测量值与这条直线上的对应点值之差的平方和应为极小。这里只考虑最简单的直线拟合问题。假定每个数据点的测量都是等精度的, 而且X的测量误差很小，可忽略，只有y的测量存在测量误差。已知所观测的一组数据点（x,y ）（i=l,2,，n），变量x与y有i iy = ax + b ，并且x的测量误差远小于y的测量误差。根据最小二乘原理估ii计d和b的值，应满足测量值y和直线上的对应点值（ax+b）之差的平方和为ii最小，即(1.7 3)确定a，b使式（1.7 3）成立的必要条件是：对d和b的一阶偏导数等于零，即(1.7 4)于是有（1.7 5）整理后写成(1.7 6)式中： 联合求解，得(1.7 7)要使式（1.7 3）取极小值还需满足充分条件，即其二阶导数大于零,这里不再证明。衡量数据点在拟合直线两侧的离散程度，仍用标准偏差表示：（1.7 8）S表示以拟合直线y = ax + b求得的y值的标准不确定度的A类分量值。根 y据不确定度传递关系，可求得斜率d和截距b的标准不确定度A类分量：（1.78）必须指出，任何一组观测值（x,y ）都可以通过式（1.7 7 ）得到系数iia. b,也就是说x和y之间存在线性函数关系是预先设定好的，因此这种关系 是否可靠需要验证。可以通过相关系数Y来描述两个变量x、y的线性关系的 明显程度。（1.7 9）Y是绝对值W1的数，丨丫丨越大，说明两个变量的线性关系越明显。若丨丫丨1,说明x与y间线性相关强烈；丨丫丨0,说明实验数据点分散，x与yi i i i无线性关系；Y0（或YVO）表示y随x增加而增加（或y随x增加而减 小）。4逐差法对于自变量等间距变化的数据组，常采用逐差法处理一元线性拟合问题。逐 差法与作图法相比，它不像作图法拟合直线具有较大的随意性，比最小二乘法计 算简单而结果相近，在物理实验中是常用的数据处理方法。设实验数据组（x,y）ii具有线性关系y=ax+bx按等间距变化，并且其测量误差远小于y的测量误差。为了进行逐差法拟合直i线，把数据分成两组：进行等间隔逐差（隔n项）：再利用y = ax + b的关系求得一组斜率值: a =(y y )/(x x )1n+1 1n+1 1a =(y y ) /(x x )2n+2 2n+2 2 a =(y y ) /(x x )i n+i i n+i ia =(y y )/(x x )n 2n n 2