(A)卷 共5页 第2页2004级高等数学（I）期末考试试卷(A)答案及评分标准一、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）：1.2. . 3. 设在处连续，则.4. 曲线在点处的切线方程是.5. 设为的一个原函数，则.6. .7. .8. 若向量与向量平行，且满足，则.二、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：1. 求极限. 解 (2分) （4分） （5分） （6分）2. 求由参数方程所确定的函数的二阶导数. （3分） （6分）3. 设，求. 解 （2分） （5分） （6分）4. 求由方程所确定的隐函数的导数.解 方程两边对求导得 （4分） （6分）三、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：1. 求. （或令）解 （3分） （6分）2. 求.解 （3分） （4分） （6分）3. 设 ,求.解 （3分） （6分）4. 证明方程在区间内有唯一实根.解 ， （1分）则在上连续，且，由零点定理，至少使. （3分） 又，故至多有一个零点， （5分）综上所述，方程在区间内有唯一实根. （6分）四、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：1试确定a的值，使函数在处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值.解 （1分）， (3分)又， （5分）为极大值. （6分）2求抛物线与所围图形的面积，及该图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.解 由得交点， （2分）， （4分）. （6分） 3求过点且与直线垂直相交的直线方程.解 过点且与直线垂直的平面方程为 ，即 ， （2分）令 ，得，代入平面方程得，求得平面与直线的交点为， （4分）， 取，所求直线方程为 （6分） 4已知，证明：(1) ； (2) 当时，； (3) 收敛，并求其极限.证明 （1）， （1分） （2分）（2） （3分） （4分）（3）， 即单调减少有下界，故收敛， （5分）设，则由两边取极限得 ，即 （6分）五、（本题满分4分）设在区间上连续，在区间内，证明对一切，都有 .证明 设， ， （2分）又设，则，于是单调减少，则时，从而，则单调减少，故时，即有 （4分）