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经典例题透析类型一:勾股定理的直接用法 1、在RtABC中,C=90 (1)已知a=6, c=10,求b, (2)已知a=40,b=9,求c; (3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨: 写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 解析:(1) 在ABC中,C=90,a=6,c=10,b= (2) 在ABC中,C=90,a=40,b=9,c= (3) 在ABC中,C=90,c=25,b=15,a= 举一反三 【变式】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】ACD=90 AD=13, CD=12 AC2 =AD2CD2 =132122 =25 AC=5 又ABC=90且BC=3 由勾股定理可得 AB2=AC2BC2 =5232 =16 AB= 4 AB的长是4.类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,. 求:BC的长. 思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长. 解析:作于D,则因, (的两个锐角互余) (在中,如果一个锐角等于, 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 根据勾股定理,在中, . 根据勾股定理,在中, . . 举一反三【变式1】如图,已知:,于P. 求证:. 解析:连结BM,根据勾股定理,在中, . 而在中,则根据勾股定理有 . 又 (已知), . 在中,根据勾股定理有 , . 【变式2】已知:如图,B=D=90,A=60,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。 分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析:延长AD、BC交于E。 A=60,B=90,E=30。 AE=2AB=8,CE=2CD=4, BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12,DE=。 S四边形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=类型三:勾股定理的实际应用 (一)用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60方向走了到达B点,然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。 (1)求A、C两点之间的距离。 (2)确定目的地C在营地A的什么方向。 解析:(1)过B点作BE/AD DAB=ABE=60 30+CBA+ABE=180 CBA=90 即ABC为直角三角形 由已知可得:BC=500m,AB= 由勾股定理可得: 所以 (2)在RtABC中, BC=500m,AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即点C在点A的北偏东30的方向 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD, 与地面交于H 解:OC1米 (大门宽度一半), OD0.8米 (卡车宽度一半) 在RtOCD中,由勾股定理得: CD.米, C.(米).(米) 因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门 (二)用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线 思路点拨:解答本题的思路是:最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论 解析:设正方形的边长为1,则图(1)、图(2)中的总线路长分别为 AB+BC+CD3,AB+BC+CD3 图(3)中,在RtABC中 同理 图(3)中的路线长为 图(4)中,延长EF交BC于H,则FHBC,BHCH 由FBH 及勾股定理得: EAEDFBFC EF12FH1 此图中总线路的长为4EA+EF 32.8282.732 图(4)的连接线路最短,即图(4)的架设方案最省电线 举一反三 【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高为4cm,是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程 解: 如图,在Rt中,底面周长的一半cm, 根据勾股定理得 (提问:勾股定理) AC (cm)(勾股定理) 答:最短路程约为cm类型四:利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、的线段。 思路点拨:由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作。 作法:如图所示 (1)作直角边为1(单位长)的等腰直角ACB,使AB为斜边; (2)以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角。斜边为; (3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、的长度就是 、。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析:可以把看作是直角三角形的斜边, 为了有利于画图让其他两边的长为整数, 而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。 作法:如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作ACOA且截取AC=1,以OC为半径, 以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。类型五:逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1原命题:猫有四只脚(正确) 2原命题:对顶角相等(正确) 3原命题:线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等(正确) 4原命题:角平分线上的点,到这个角的两边距离相等(正确) 思路点拨:掌握原命题与逆命题的关系。 解析:1. 逆命题:有四只脚的是猫(不正确) 2. 逆命题:相等的角是对顶角(不正确) 3. 逆命题:到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上(正确) 4. 逆命题:到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上(正确) 总结升华:本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。 7、如果ABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ABC的形状。 思路点拨:要判断ABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题。 解析:由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得 : a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3,b=4,c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理,得ABC是直角三角形。 总结升华:勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 举一反三【变式1】四边形ABCD中,B=90,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。 【答案】:连结AC B=90,AB=3,BC=4 AC2=AB2+BC2=25(勾股定理) AC=5 AC2+CD2=169,AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90(勾股定理逆定理) 【变式2】已知:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形. 分析:本题是利用勾股定理的的逆定理, 只要证明:a2+b2=c2即可 证明: 所以ABC是直角三角形. 【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。 【答案】答:DEEF。 证明:设BF=a,则BE=EC=2a, AF=3a,AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2; DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 连接DF(如图) DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。经典例题精析类型一:勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是3:4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。 思路点拨:在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积。 解析:设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得: (3x)2+(4x)2202 化简得x216;
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