3.1.3导数的几何意义教学目标：知识与技能：使学生理解导数的几何意义，初步体会“以直代曲”的辩证思想；掌握求曲线上一点出的切线的斜率的方法。过程与方法：经过演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函数图象的切线“形成”过程，获得函数图象的切线的意义。情感、态度与价值观：增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心，培养学生的观察、动手动脑、归纳总结的能力；培养学生合作学习、创新能力。教学重点：导数的几何意义，求曲线上过一点处的切线方程。教学难点：“以直代曲”的数学思想方法；以及切线定义的理解在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解。教学过程：一、问题情境：1我们知道，导数f(x0)表示函数f(x)在x0处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在xx0附近的变化情况，那么，导数f(x0)是否有一定的几何意义呢？【提示】f(x0)有几何意义。2如图，当点Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)，沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0)时，割线PPn的变化趋势是什么？【提示】点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于过点P的切线PT。3第2题图中割线PPn的斜率kn，当点Pn无限趋近于点P时，此斜率与切线PT的斜率有何大小关系？【提示】kn无限趋近于切线PT的斜率。二、互动探究： （一）导数的几何意义：1设点P(x0，f(x0)，Pn(xn，f(xn)是曲线yf(x)上不同的点，当点Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0)时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率kli f(x0)。2函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率，在点P的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)。 （二）导数的概念：从求函数f(x)在xx0处导数的过程看到，当xx0时，f(x0)是一个确定的数；当x变化时，f(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数，即f(x)y 。问题：导函数f(x)与函数在xx0处的导数f(x0)相同吗？它们有什么区别与联系？【提示】不相同。(1)两者的区别：由导数的定义知，f(x0)是一个具体的值，f(x)是由于f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义在I上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是数值，后者是函数。(2)两者的联系：在xx0处的导数f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数。三、实例解析： 例1、已知yf(x)的图象如图，则f(xA)与f(xB)的大小关系是() Af(xA)f(xB) Bf(xA)f(xB) Cf(xA)f(xB) Df(xA)与f(xB)大小不能确定【解析】由yf(x)的图象可知，kAkB，根据导数的几何意义有：f(xA)f(xB)。【答案】A 例2、(1)求曲线yx2x1在点(1,3)处的切线方程；(2)求过点(1,0)与曲线yx2x1相切的直线方程。【思路探究】(1)所给点是切点吗？(2)若是切点，该如何求切线方程？若不是切点该怎么办？【自主解答】(1)y 2x1，(1,3)在曲线上，切线斜率ky|x12113。所求切线方程为y33(x1)，即3xy0。(2)y2x1，点(1,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0，y0)，则切线斜率为k2x01。y0xx01，x00或x02。当x00时，切线斜率k1，过(1,0)的切线方程为y0x1，即xy10，当x02时，切线斜率k3，过(1,0)的切线方程为y03(x1)，即3xy30，故所求切线方程为xy10或3xy30。 规律方法：1如果所给点P(x0，y0)就是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数f(x)在点x0处的导数f(x0)，即得切线的斜率kf(x0)，再根据点斜式得出切线方程。2如果所给点P不是切点，应先设出切点M(x0，y0)，再求切线方程。要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上。 例3、抛物线yx2在点P处的切线与直线4xy20平行，求P点的坐标及切线方程。【思路探究】【自主解答】设P点坐标为(x0，y0)，y (2xx)2x。y|xx02x0，又由切线与直线4xy20平行，2x04，x02，P(2，y0)在抛物线yx2上，y04，点P的坐标为(2,4)，切线方程为y44(x2)，即4xy40。规律方法：1导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点。2导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，注意灵活利用题目提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等关系求解相应问题。四、巩固练习：1设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线() A不存在 B与x轴平行或重合 C与x轴垂直 D与x轴斜交【答案】B2如果曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为x2y30，那么() Af(x0)0 Bf(x0)0 Cf(x0)0 Df(x0)不存在【解析】由x2y30知斜率k，f(x0)0。【答案】B3抛物线y2x2在点P(1,2)处的切线l的斜率为_。【解析】kf(1)4。【答案】44已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程为yx2。求f(1)与f(1)的值。【解】由题意f(1)12.由导数的几何意义得f(1)k。五、小结提升：1函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率。也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0)，相应地，切线的方程为yf(x0)f(x0)(xx0)。2导数f(x)，是针对某一区间内任意点x而言的，函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f(x0)，根据函数的定义，在区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f(x)。六、布置作业： 1函数yf(x)导函数f(x)的图象如图，则在yf(x)图象上A，B的对应点附近，有() AA处下降，B处上升 BA处上升，B处下降 CA处下降，B处下降 DA处上升，B处上升【解析】所给图象的导函数的图象，且A点处y0，B点处y0，故原函数图象上A处下降，B处上升。【答案】A2如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)() A. B1 C2 D0【解析】由图象知f(5)583，由导数几何意义知f(5)1，f(5)f(5)312。【答案】C3已知yax2b在点(1,3)处的切线斜率为2，则_。【解析】由题意 (ax2a)2a2，a1，又3a12b，b2，2。【答案】24曲线f(x)3xx2在点(1，f(1)处的切线方程为_。【解析】k 5，f(1)4，由点斜式得y45(x1)，即y5x1。【答案】y5x1