第六章 微分方程习题6.1 3用微分方程表示下列命题. (1)曲线在点（x，y）处的切线的斜率等于该点的横坐标与纵坐标之比的相反数. (2)某大洲的人口总量Q(t)的增长速度与当时的人口总数成比例. 解: (1) 根据导数的几何意义, y = f (x) 在点（x，y）处的切线的斜率可用导数y = f (x)来表示, 由题目的条件知y =,这就是所求的微分方程.(2) 人口总量Q(t)的增长速度可用导数Q(x) 来表示, 设题目所说的比例系数为k0，就得到所求的微分方程: Q(t) = kQ(t) 或简写成Q = kQ.4. 已知曲线族y = C1cos2x+C2sin2x，求其中满足条件y(0) = 2，y(0) = 0的曲线.解: 对y = C1cos2x+C2sin2x求导得到y = -2C1sin2x+2C2cos2x. 把初始条件y(0) =2，y(0) = 0分别代入这两个方程得: 2 = C1, 0 = 2C2, 即C1 = 2, C2 = 0. 把它们代入曲线族方程得到y = 2cos2x,这就是所求的曲线的方程.习题6.23放射性物质镭的衰变速度与它现存量Q成正比，比例系数k = - 0.00433，求在时刻t（以年为单位）镭的存量与时间t的函数关系，经过多少年后，镭的质量只剩下原始量的一半？解: 设镭的存量与时间t的函数为Q = Q(t), 那么衰变速度可用导数Q(x) 来表示, 根据题目条件得到微分方程: Q = - 0.00433Q,解这个方程得出镭的存量与时间t的函数为Q = Q0e-0.00433t .假定经过T年后，镭的质量只剩下原始量的一半, 即Q(T) = 0.5 Q0. 代入Q(t)中得到0.5 Q0 = Q0e-0.00433T,由此可求出T =160(年).4在某种化学反应中，物质A转变成物质B的速度与物质A的瞬时存量的平方成正比. 如果物质A的初始质量为60克，1小时后物质A的瞬时存量减少到10克，求2小时后物质A的瞬时存量.解: 设物质A在时刻t的存量为y = y(t), 那么由题目条件得到微分方程 y(t) = k (y(t)2, 或y = ky2, 其中k是比例系数,且y(0)=60, y(1)=10. 解这个方程得到通解y (t) =,把t = 0, y =60代入通解表达式, 可求出C =1/60, 即得出特解y (t) =;因为t = 1 时y =10, 代入特解表达式,可求出k = -1/12, 从而物质A的存量函数为y =.把t = 2代入函数,求得y = 5.45(g). 即2小时后物质A的瞬时存量为5.45g.5假定有一笔钱s0存在银行，每个月可按2%的利率获取复利息. 求得该款存入后任何时刻的资金（连本带利）是多少？解: 设在时刻t的资金（连本带利）为s = s(t). 那么由题目条件得到微分方程(初值问题):,求出通解为s = Ce0.02t. 把t = 0, s = s0代入求得C = s0. 从而所求的解为s = s0e0.02t. 即该款存入后任何时刻t的资金（连本带利）是s =s0e0.02t.6. 用x(t)表示时刻t的销售量, 设销售量的变化率x(t)与销售量x(t)及销售接近饱和水平的程度a-x之乘积成正比（比例系数k = 0.1）. 假定x(0)=100, 饱和水平a=1100，求销售函数x(t).解: 由题目条件得到微分方程x(t)= 0.1x (a-x). 求出通解为x =, 其中c =.因为x0 =x(0)=100, 饱和水平a=1100，所以c =10, 销售函数x(t)为x =.7（生物种群生长模型） 在一个孤立小岛上红蚂蚁迅速繁殖, 经一阶段增长后逐渐接近生长极限N. 假定在时刻t0= 0时的红蚂蚁量x0为生长极限N的m分之一（m10为整数）, 红蚂蚁量x(t)的增长率与x(t)本身和其接近生长极限的程度(N- x(t)之乘积成正比（比例系数k0）. 求红蚂蚁量x(t)的函数表达式. 又,假定生长极限N =100000单位, x0 为N的五千分之一, 10天后红蚂蚁量达到x0 的10倍, 问经过多少时间红蚂蚁可达到其生长极限的百分之六十.解: 由题目条件得到微分方程x(t) = kx (N-x). 求出通解为x =, 其中c =.因为在时刻t0= 0时的红蚂蚁量x0为生长极限N的m分之一, x0= N/m, c = m-1. 所以,红蚂蚁量x(t)的函数表达式为x =.假定N =100000单位, x0 为N的五千分之一, 10天后红蚂蚁量达到x0 的10倍, 那么x0=20, m=5000, c = m-1=4999, t =10, k = 0.2310-6. 因此函数x(t)为x =.假定经过T天红蚂蚁可达到其生长极限的百分之六十. 那么,0.6N =,从中可求出T=38.739(天).习题6.33. 求一曲线方程，它经过坐标原点并且在点(x，y)处的切线的斜率为2x(1-y). 解: 设曲线方程为y = f (x), 由题目的条件知y = 2x(1-y).解这个方程dy = 2dx,ln |y-1|= -x2+C,得到方程的通解y-1= C1.因为曲线经过坐标原点(0, 0), 把x=0,y=0代入通解表达式,得C1=-1. 因此, 所求的曲线方程为y = 1-.4. 一个物体从水池表面落下，所受的阻力与速度成正比，求下落速度v与时间t的函数关系. 解: 取坐标轴V方向朝下(地心), 设下落速度v= v(t), 那么t = 0时速度 v = v(0) = 0. 运动的加速度为v = v (t), 物体受到重力mg和阻力-kv的作用（其中k0是比例系数）, 两个力的方向相反. 根据牛顿第二定律得出如下微分方程: mg kv =m v, 或 ,这是一个一阶线性方程，根据公式求得通解:v = (gdt+C) =+C .由于t = 0时速度 v = 0, 故可求出C = -, 从而下落速度v =(1-).5. 设有一质量为m的机车在铁轨上由静止开始运动，它同时受到两个力的作用，一是与运动方向一致的牵引力的作用，大小与时间成正比（比例系数为k1），另一个是阻力，其大小与速度成正比（比例系数为k2）. 求火车运动的速度与时间的关系.解: 设火车运动的速度v= v(t), 那么t = 0时速度 v = v(0) = 0. 那么牵引力为k1t, 阻力为-k2v. 两个力的方向相反. 根据牛顿第二定律得微分方程: k1t k2v =m v, 或 t,这是一个一阶线性方程，根据公式求得通解:v = ()dt+C= t dt +C =(t-)+C.由于t = 0时速度 v = 0, 故可求出C = , 从而火车运动的速度为v =t-(1-).习题6.43一质量为m的物体，在粘性液体中由静止自由下落. 假设液体阻力与运动速度成正比，比例系数为k, 试求物体下落的距离s与时间t的函数关系.解: 设物体下落的距离为s = s (t), 那么为运动速度v= s (t), 那么t = 0时s = s (0) =0, v = v(0) = 0. 运动的加速度为v = v (t) = s(t), 物体受到重力mg和阻力-kv的作用(其中k0是比例系数), 两个力的方向相反. 根据牛顿第二定律得微分方程: mg k s =m s, 或 ,这是一个可降阶的二阶线性方程. 事实上, 令v= s (t), 就得到,这是一个一阶线性方程, 根据公式求得通解:v = (gdt+C) =+C .由于t = 0时速度 v = 0, 故可求出C = -, 从而下落速度v =(1-), 或s (t) =(1-).把最后的方程两边积分,求得通解:s (t) =( t + C1)由初值条件s (0) = 0得出C = -. 从而得到距离s与时间t的函数关系s (t) =t +(-1).习题6.51判断下列函数组在其定义区间是否线性无关？(1) x，x2 ; (2) e x，ex ;(5) ln x，ln x2; (6) 0，x，cos x.解: 设常数C1 ,C2使的C1x+C2x2 0, x(-, ). 我们断定C1=C2= 0. 否则, 若C1 0, 当x 0时,等式两边同除于x得C1 -C2 x, x 0. 这时,若C2=0, 则推出C1=C2= 0,与假设矛盾; 若C2 0, 则推出C1不是常数, 也与假设矛盾. 因此C1= 0. 从而C2 x2 0, x(-, ), 由此推出C2 = 0. 因此x与x2线性无关.(2) ex与ex线性无关. 事实上, 设常数C1 ,C2使的C1ex+C2ex 0, x(-, ). 我们断定C1=C2=0. 否则, 若C1 0, 等式两边同除于ex得C1 -C2 e2x, x 0. 这时,若C2=0, 则推出C1=C2 = 0,与假设矛盾; 若C2 0, 则推出C1不是常数, 也与假设矛盾. 因此C1= 0. 从而C2 ex 0, x(-, ), 由此推出C2 = 0. 因此x与x2线性无关.(5) 由于 lnx2 = 2ln x, x(0, ), 可见ln x与lnx2线性相关.(6) 由于选取C1=1, C2= C3= 0时，有C10+ C2x+ C3cos x=10+ 0x+0cos x 0, x(-, ). 所以0，x，cos x是线性相关的.习题6.62求下列方程满足初始条件的特解(3) y+2y+y=0， y|x=0 = 2，y|x=0= 0，y|x=0 = -1;(4)+2+ s =0， s| t=0 = 4，s| t=0 = 2.解: (3) 特征方程为r3+2r2 + r = 0，它有3个的实根: r1 = 0，r2,3 = -1. 所以微分方程的通解为y = C1+ C2e-x + C3 x e-x. 由y|x=0 = 2得出C1+ C2 = 2. 因为y = -C2e-x + C3 e-x- C3 x e-x, y = C2e-x -2 C3 e-x + C3 x e-x.由y|x=0= 0，y|x=0 = -1得出 -C2 + C3 = 0, C2 -2 C3 = -1. 解这个方程组得C2 = C3 =1. 从而C1 = - C2 + 2=1.所以满足初始条件的特解为y = 1+ e-x + x e-x. (4) 特征方程为r2+2r +1 = 0，它有两个相等的实根是r1,2 = -1. 所以, 微分方程的通解为s = C1e -t + C2 t e-t. 由此得出s = -C1e -t - C2 t e-t+ C2 e-t. 由s| t=0 = 4，s| t=0 = 2得出C1 = 4, -C1 + C2 = 2. 解得C2 =6. 所以满足初始条件的特解为s = 4e -t + 6 t e-t.习题6.72. 确定下列方程的特解的形式(1) y+3y= 2x4+x2e-3x ;(2) y+2y+2y =