2.42.4曲线与方程曲线与方程课标解读1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念.3.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.4.掌握求轨迹方程的几种常用方法.5.初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质新知初探新知初探自主自主学学习课堂探究堂探究素养提升素养提升新知初探新知初探自主学自主学习教材要点知识点一曲线与方程的概念一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的_一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)0之间具有如下关系：_都是方程F(x，y)0的解；以方程F(x，y)0的解为坐标的点都在_C上那么，方程F(x，y)0叫做_；曲线C叫做_轨迹方程曲线C上点的坐标曲线曲线的方程方程的曲线知识点二两条曲线的交点坐标曲线C1：F(x，y)0和曲线C2：G(x，y)0的交点坐标为_的实数解知识点三解析几何研究的主要问题(1)由曲线求它的_(2)利用方程研究曲线的_方程性质知识点四求曲线的方程的步骤有序实数对(x，y)PM|p(M)p(M)f(x，y)0f(x，y)0方程的解状元随笔求曲线方程的步骤是否可以省略提示可以省略如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤“证明”，如有特殊情况，可以适当说明基础自测1方程x2y21的曲线是()答案：D2如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是()A B C D答案：D3下列各点中，在曲线x2xy2y10上的是()A(1，2)B(1，2)C(1，2)D(2，3)答案：A解析：将各点代入验证，得点(1，2)满足答案：y28x(x0)课堂探究堂探究素养提升素养提升题型1曲线与方程的概念例1(1)命题“以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上”是命题“曲线C的方程是f(x，y)0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：B解析：根据曲线方程的概念，“曲线C的方程是f(x，y)0”包含“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”和“以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上”两层含义(2)若曲线C的方程为y2x1(1x5)，则下列四个点中在曲线C上的是()A(0，0)B(7，15)C(2，3)D(4，4)答案：C解析：由y2x1(1x5)得A，B的横坐标不满足题意，D项中坐标代入后不满足方程，故选C.方法归纳解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程答案：题型2由方程研究曲线的性质例2写出方程y24x40的曲线的主要性质方法归纳利用方程研究曲线性质的一般过程跟踪训练2画出到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹图形解析：到两坐标轴距离之差等于1的点(x，y)，满足的方程是|x|y|1，其中以x代x，或y代y，方程都不变，所以方程的曲线关于坐标轴对称，同时也关于原点对称，需画出x0，y0的图形后，利用对称性完成画图，如图题型3直接法求曲线方程例3已知两定点A(2，0)，B(1，0)，如果动点P满足条件|PA|2|PB|，则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A9 B8C4 D答案：C方法归纳直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件M|p(M)直接翻译成x，y的形式F(x，y)0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少跟踪训练3一个动点P到直线x8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍求动点P的轨迹方程题型4代入法求曲线的方程【思考探究】1为什么说“建立平面直角坐标系是解析几何的基础”？提示只有建立了坐标系，才有点的坐标，才能把曲线代数化，才能用代数法研究几何问题2常见的建系原则有哪些？提示(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系(2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为x轴建立平面直角坐标系3求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？提示在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或“增解”同时注意题中隐含信息，比如“三点不能共线”，若共线就不能取例4动点M在曲线x2y21上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程状元随笔所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得跟踪训练4设定点M(3，4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹状元随笔方法一：由平行四边形性质可知|MP|ON|2，满足圆的定义，注意去掉不满足条件的点；方法二：根据对角线互相平分，利用代入法可求出轨迹方程