“余弦定理”教学设计方案 镇江市实验高级中学 杨勇一、课题：余弦定理（苏教版必修5第一章第2节）二、教学内容分析余弦定理是“纵横”知识网络上的一个重要结点，纵向发展的知识：勾股定理余弦定理秦九韶公式海伦公式；横向联结的知识：和角公式、正弦定理及三角形面积公式余弦定理承前的基础知识有勾股定理、向量基础知识、三角函数定义、诱导公式、和角公式、正弦定理及三角形面积公式，这些都是建立余弦定理的知识储备，后续的知识有正余弦定理的应用及其拓展内容秦九韶公式与海伦公式同时，余弦定理可推导证明和角公式、正弦定理等，使三角内容紧密联结成一个完整的知识体系余弦定理是三角函数模块和平面向量模块在三角形中的具体运用，是解决生产、生活实际问题及可转化为三角形计算问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值本节课是“解斜三角形”教学的第二课时，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”三、教学目标1.知识与技能（1）通过两颗星之间的距离，感受余弦定理来自于现实世界、从实际生活中提炼出数学的过程，以此培养学生的数学应用意识；（2）通过对三角形边角关系的探索，能证明余弦定理，了解可以从向量、解析几何和三角方法等多种途径证明余弦定理；2.过程与方法（1）理解余弦定理的两种表示形式，初步了解余弦定理的两种形式之间的关系；（2）通过学生动手操作、提出问题、解决问题的过程，提高学生运用余弦定理解决问题的能力；3.情感态度价值观体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的应用，让学生获得发现的成就感，在质疑、交流、合作中形成良好的数学思维品质三、教学重点与难点对于三角形边角关系的探索过程，是学生在问题引导下，尝试问题解决，提升自信的心理历程，本节课的终结点是余弦定理纳入学生的知识结构之中，培养学生的数学应用意识，因此课堂教学的重点确立为：余弦定理的发现与证明要获取余弦定理的关键是引入向量或建立适当的直角坐标系，这从学生的认知能力来讲，是一个较难的问题，因而，本堂课的难点确立为：余弦定理的建立在突破难点上，采用探究式提问策略，通过解直角三角形、向量及建立直角坐标系的基础知识（注：建立直角坐标系的方法根据学生的接受能力而定），使难点在学生递进式的解答过程中，层层突破，并领悟数学知识的内在联系四、教学过程：（一）创设情境1. 牵牛星A和织女星B分别距离地球C约17光年和26光年，从地球上观测这两颗星的张角为340，求牵牛星和织女星之间的距离（精确到0.01光年,其中COS340=0.83）.设计意图：通过问题情境的创设，激发学生的兴趣，在学生发现AB无法具体测量后，转而想到正弦定理，进而发现该问题不符合正弦定理能解决的两种类型，一时激起强烈的认知冲突。（二）学生探究对问题进行探究：（1）若C=900，AB是否能求？ （2）C=600，AC=BC，AB是否能求？（3）能否对上述问题进行一般化？即：任意一个三角形，已知两边和夹角，求第三边.设计意图：学生发现该问题不符合正弦定理能解决的两种类型，老师引导学生对问题先特殊化（1）、（2），发现可以轻松解决，再一般化为（3），如何解决？然后利用几何画板演示AB随着C的变化而变化的过程， 再演示AB随着CB的变化而变化的过程,让学生感受AB和AC、BC和C之间存在着某种函数关系。（三）建构数学1定理的推导：请同学们自主思考后与同桌交流，然后请代表展示。方法一：几何法如图2，当C为锐角时，作BDAC于D，BD把ABC分成两个直角三角形： ACBD图2在RtABD中，AB2=AD2+BD2；在RtBDC中，BD=BCsinC=asinC，DC=BCcosC=acosC所以，AB2=AD2+BD2化为c2=(bacosC)2+(asinC)2，c2=b22abcosC+a2cos2C+a2sin2C，c2=a2+b22abcosC可以看出C为锐角时，ABC的三边a，b，c具有c2=a2+b22abcosC的关系。如图3，当C为钝角时，作BDAC，交AC的延长线于D。BADC图3ACB是两个直角三角形之差。在RtABD中，AB2=AD2+BD2在RtBCD中，BCD=CBD=BCsin(C)，CD=BC cos(C)所以AB2=AD2+BD2化为c2=(AC+CD)2+BD2=b+acos(C)2+asin(C)2=b2+2abcos(C)+a2cos2(C)+a2sin2(C)=b2+2abcos(C)+a2因为cos(C)=cosC，所以也可以得到c2=b2+a22abcosC。方法二：向量法推导 如图，在中，、的长分别为、 ， 即； 同理可证：， 即：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。方法三：解析法我们把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于ABC的AC=b,CB=a,AB=c，则A，B，C点的坐分别为A(b,0),B(acos C,asin C),C(0,0).AB2=(acosC-b)2+(asinC-0)2=a2cos2C-2abcosC+b2-a2sin2C=a2+b2-2abcos C,即c2=a2+b2-2abcos C.设计意图：通过把问题一般化后，充分放手让学生自己去探究，体现学生的主体性，学生可能一时很难找到思路，老师可适当启发、点拨：数学中求边长问题一般的方法有哪些？最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系；而用向量的数量积证明余弦定理更是学生比较难想到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合，目前的学生要用解析法就更显得难了，因为我们教教材的顺序是必修1、4、5、2、3，必修2中的解析几何在该内容的后面，好在必修4向量中对两点间距离公式有所研究。因而老师在上课时要适当的点拨、启发，鼓励学生大胆的探索，不求全责备，允许学生犯错，比如：用几何法证明时学生会漏掉钝角时的情况这是正常的，因为受图形的限制，老师不急于指出，放到后面去完善，再比如学生说用向量法时老师要特别放慢，追问边长和向量有什么关系？为什么要两边平方？首尾相连的两向量夹角怎样找？再如用坐标法时，坐标系怎样建立？坐标原点的选取，A点坐标的产生等。在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加强学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯。2定理的内容教师总结：以上三种方法， 我们都得到三角形中边角关系的又一重要定理：（多媒体投影余弦定理的内容） 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即c2=a2+b22abcosCa2=b2+c22bccosAb2=c2+a22accosB3定理的剖析剖析1：公式的结构特征怎样？（1）a b c 轮换对称;（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）剖析2：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.剖析3：公式的变形形式及其作用作用(1)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边. (2)已知三角形的三条边长，可求出三个内角。4定理的应用例1解决引入时两颗星之间的距离例2已知ABC的三边为 、2、1，求它的最大内角。例3：在ABC中，已知b=4,c= ,C=60求边a设计意图：给出三种题型，让学生体会余弦定理的应用（1）两边夹角求对边：回答开始提出的问题。（2）已知三边求三角。（3）正、余弦定理都好用，体现知三求一及方法的取舍。5巩固训练设计意图：进步巩固余弦定理的应用。6回顾反思：（1）推导余弦定理的三种方法（2）余弦定理的作用。（3）本节课所涉及的数学思想。设计意图：让学生自己总结出证法、作用、思想，老师作适当补充。7布置作业：必做题：P16练习1,3；习题1 ，P17习题3、6选做题：在ABC中，已知求边a的最小值。设计意图：设计必做与选做，既能让学生巩固余弦定理，又能让学有余力的学生有所拓展和探究。五、教学反思 1、本节课的重点首先是定理的证明，其次才是定理的应用。我们传统的定理概念教学往往采取的是“掐头去尾烧中断”的方法，忽视了定理、概念的形成过程，只是一味的教给学生定理概念的结论或公式，让学生通过大量的题目去套用这些结论或形式，大搞题海战术，加重了学生的负担，效果很差。学生根本没有掌握住这些定理、概念的形成过程，不能明白知识的来龙去脉，怎么会灵活的应用呢？事实上已经证明，这种生搬硬套、死记硬背式的教学方法和学习方法已经不能适应新课标教育的教学理念。新课标课程倡导：强调过程，重视学生探索新知识的经历和获得的新知的体会，不能再让教学脱离学生的内心感受，把“发现、探究知识”的权利还给学生。 2、本节课的教学过程重视学生探究知识的过程，突出了以教师为主导，学生为主体的教学理念。教师通过提供一些可供学生研究的素材，引导学生自己去研究问题，探究问题的结论。在这个过程中，教师应该做到“收放有度”，即：不能收的太紧，剥夺了学生独立思考、合作学习的意识，更不能采取“放羊式”的教学，对于学生在探究问题中出现的困惑置之不理。 3、合理的应用多媒体教学，起到画龙点睛、提高效率、增强学生对问题感官认识的效果，不能让教师成为多媒体的奴隶。滥用多媒体教学的后果是将学生上课时的“眼到、手到、口到”变为机械的“眼到”，学生看了一节课的“电影”，没有充足的时间去思考、练习、巩固，课后会很快将所学的知识忘得一干二净。 4、在实际的教学中，发现学生对于所学的知识（例如向量）不能很好的应用，学生的数学思想（如分类讨论、数形结合）也不能灵活的应用，这在以后的教学中还应该加强。从授课的实际效果来看，能较好的完成本节课的教学任务。后一阶段的教学主要应该加强师生的课堂双边活动，处理好教与学的关系，充分调动学生的课堂参与意识，鼓励学生积极大胆的发言，学生主动暴露自己的问题，教师及时的加以纠正，使教学更具针对性。