81.1向量数量积的概念81.2向量数量积的运算律新知初探新知初探自主学自主学习课堂探究堂探究素养提升素养提升【课程标准】1.理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积2了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义3会用平面向量的数量积判断两个向量的垂直关系新知初探新知初探自主学自主学习教 材 要 点知识点一向量的夹角定义范围_特例_a与b同向180a与b反向90a与b垂直，记作_，规定_可与任一向量垂直AOB01800ab零向量|a|b|cos a，bab向量O1A12投影的数量：向量a的方向与直线l的正向所成的角为，_称作a在_上的数量或在_上的数量3ab等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的投影的乘积其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的，投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零知识点四数量积的性质1若e是单位向量，则eaae_2若ab，则ab 0；反之，若ab 0，则ab，通常记作abab0(a0，b0)|a|cos 直线l直线l的方向|a|cos ae知识点五向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc(分配律)答案：D答案：C解析：在ABC中，因为ba0，所以ba，故ABC为直角三角形互补8课堂探究堂探究素养提升素养提升根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答(2)已知|a|3，|b|5，且ab12，则a在b方向上的投影的数量为_，b在a方向上的投影的数量为_4方法归纳(1)在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，更不能省略不写(2)求平面向量数量积的方法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos.若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求ab.跟踪训练1(1)给出下列判断：若a2b20，则ab0；已知a，b，c是三个非零向量，若ab0，则|ac|bc|；a，b共线ab|a|b|；|a|b|0，则a与b的夹角为锐角；若a，b的夹角为，则|b|cos 表示向量b在向量a方向上的投影长其中正确的是_(填序号)解析：由于a20，b20，所以，若a2b20，则ab0，故正确；若ab0，则ab，又a，b，c是三个非零向量，所以acbc，所以|ac|bc|，正确；a，b共线ab|a|b|，所以不正确；对于应有|a|b|ab，所以不正确；对于，应该是aaa|a|2a，所以不正确；a2b22|a|b|2ab，故正确；当a与b的夹角为0时，也有ab0，因此错；|b|cos 表示向量b在向量a方向上的投影，而不是投影长，故错综上可知正确答案：D答案：A题型2数量积的基本运算例2已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为135时，分别求a与b的数量积方法归纳(1)求平面向量数量积的步骤是：求a与b的夹角，0，；分别求|a|和|b|；求数量积，即ab|a|b|cos.(2)非零向量a与b共线的条件是ab|a|b|.【答案】B跟踪训练3已知x1是方程x2|a|xab0的根，且a24，a与b的夹角为120，求向量b的模解析：因为a24，所以|a|24，即|a|2，将x1代入原方程可得121ab0，所以ab3，所以ab|a|b|cos a，b2|b|cos 1203，所以|b|3.题型4平面向量数量积的性质例4(1)已知|a|3，|b|2，向量a，b的夹角为60，c3a5b，dma3b，求当m为何值时，c与d垂直？(2)已知a，b是两个非零向量若|a|3，|b|4，|ab|6，求a与b的夹角；若|a|b|ab|，求a与ab的夹角跟踪训练4若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_实数a，b，c向量a，b，ca0，ab0b0a0，ab0/b0abbc(b0)acabbc(b0)/ac|ab|a|b|ab|a|b|满足乘法结合律不满足乘法结合律