双曲线练习51. 已知双曲线C： x2-y2 =1(a0, b0)的实轴长为2,离心率为2,则双曲线C的焦a2 b2点坐标是.2. 中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为4x+3y=0,则该双曲线的离心率为 .3. 已知双曲线耳一晋=1的离心率为2,焦点与椭圆壬+y =1的焦点相同，那么双曲a2 b225 9线的焦点坐标为；渐近线方程为.4. A, B是双曲线C的两个顶点，直线l与双曲线C交于不同的两点P, Q,且与实轴垂直.若PBAq = 0,则双曲线C的离心率e=.5. 设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为.6设F, F2分别为双曲线耳一晋=1(a0, b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存12a2 b2在点P,满足PF2 = F1F2，且F2到直线PF的距离等于双曲线的实轴长，贝I该双曲线的渐 近线方程为.7. 设双曲线x2-y2 = 1的两条渐近线与直线工=寸围成的三角形区域(包含边界)为D,点P(x, y)为D内的一个动点，则目标函数z=x-2y的最小值为.x2 y 2x2y28. 已知双曲线C : - - - = 1(a 0,b 0)与双曲线C : - - - = 1有相同的渐1 a 2b 22 416近线，且C1的右焦点为F (丫5,0),则a =b =x29. 若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2 = 1(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OPFP的取值范围为.10. 求与双曲线-y2=1共渐近线，过点A(2；3,3)的双曲线方程.16911. 已知双曲线的中心在原点，焦点F,F2在坐标轴上，离心率为話2,且过点(4, - V1B).点 M(3, m)在双曲线上.(1) 求双曲线方程；(2) 求证：MFMF2=0；(3) 求F1MF2的面积.12.如图，已知双曲线 C： X2-y2 =1(a0, b0), l、l2 为 a2 b21 2其渐近线，F为右焦点，过F作直线ll2,且l交双曲线C于点R,-GUM,又过点F作x轴的垂线与C交于第一象限内的P点.(1)试用FO、FP表示FR；(2)求证：|FP|若FR=FM,且久u(2 2)，试求双曲线C的离心率e的范围.13.如图，动点M与两定点A(-1,0)、B(1,0)构成AMAB，且直线MA、MB的斜率之积为4, 设动点 M 的轨迹为 C .(I)求轨迹C的方程；仃I)设直线y = x + m( m 0)与y轴交于点P ,与轨迹| PR |C相交于点Q、R ,且I PQ |0, b)的实轴长为2,离心率为2,则双曲线C的焦c解析：由题意得：a= 1, e = c = 2，所以c = 2，又由标准方程可得焦点在x轴上，所以 a焦点坐标为(2,0)答案： (2,0)2. (2011年盐城市高三调研)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方 程为4x+3y=0,则该双曲线的离心率为.解析：由已知条件可设双曲线的方程为X-三=1(k 0),9k 16k则 e答案：5=1的3. (2010年高考北京卷)已知双曲线号一号=1的离心率为2,焦点与椭a2 b2焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为解析：.椭圆25+y9=1的焦点为(4,o),双曲线的焦点坐标为(4,0),cc = 4, 一 = 2, c2 = a2 + b2, a = 2, b2 = 12,a双曲线方程为-莹=1,渐近线方程为y = bx = J3x,_a即 3xy = 0.答案：(4,0)3xy=04. A, B是双曲线C的两个顶点，直线l与双曲线C交于不同的两点P, Q,且与实轴垂直.若PBAQ = 0,则双曲线C的离心率e=.解析：如图所示，设双曲线方程为匚= 1,取其上一点P(m,a2 b2n),则 Q(m, - n),由 PBAQ = 0 可得(a - m, -n)(m + a, - n) = 0, 化简得m2 = a2 + n2,代入m-n = 1可得b = a,即此双曲线的离心a2 b2率为e = 72. 答案：、込5.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐 近线垂直,那么此双曲线的离心率为.解析：设双曲线方程为斗-* = 1，设F(c,0), B(0, b),a2 b2 bb k =-b,双曲线渐近线的斜率k = -.BF cabbTBF与一条渐近线垂直，.-=- 1,ca b2 = ac，又 a2 + b2 = c2,. c2- ac- a2= 0，. e2- e- 1 = 0，e =呼（舍负值）, e=答案：V5+i26. （2010年高考浙江卷改编）设Fi，F2分别为双曲线卑一音=10, b0）的左、右焦i 2a2 b2点.若在双曲线右支上存在点P,满足PF2 = FiF2，且F2到直线PF的距离等于双曲线的 实轴长,则该双曲线的渐近线方程为.解析：过F作FA丄PF于A,由题意知F A = 2a, FF2 2 1 2 1 24b，而 PF - PF = 2a,12 4b- 2c= 2a，c= 2ba，c2= (2ba)2，a2 + b2 = 4b2 - 4ab + a2，解得b =a3双曲线的渐近线方程为4y = 3x答案：y=|x解析：如图所示，2 2 2 A（亍、B 一而 z=T），陀x- 2y， 即 y = x + （- jz）.2 、 2 过 A（F，时， 答案：学zmin半-2X(*)=-拿2 2 27. 设双曲线x2-y2 = 1的两条渐近线与直线工=于围成的三角形区域（包含边界）为D, 点P（x, y）为D内的一个动点，则目标函数z=x-2y的最小值为.x2 y 2x2y 28. 已知双曲线C : - - - = 1(a 0,b 0)与双曲线C : - - - = 1有相同的渐近线，1 a 2 b 22416且C的右焦点为F (*5,0),则a =b =x2y2x2y 2b【解析】双曲线的-二=1渐近线为y = 2x，而-匚=1的渐近线为y = ,416a2b2a所以有-=2，b = 2a，又双曲线-止=1的右焦点为（打,0），所以c 仝，又 aa2 b2c2 = a 2 + b2，即 5 = a 2 + 4a 2 = 5a 2，所以 a 2 = 1, a = 1, b = 2。答案】 1， 2点，点p为双曲线右支上的任意一点，则OPFP的取值范围为.x2 解析：由F为左焦点得a2 = 3,则双曲线方程为3 _y2 = 1,设P(x, y),则OPFP = (x,+ 2x +X0_ 1 = 4x2 + 2x _ 1 = (x + 3)2 _ _ 1.由 P 在右支 033 0030 4168. (2011年苏州调研)若点O和点F(2,0)分别为双曲线：一y2 = l(a0)的中心和左焦y )(x + 2, y ) =x2 + 2x +y20 0 0 0 0 0得x0三;3, 所以 OP.FP 三 3+2Q3. 答案：3 + 2冷3,+8)9. 求与双曲线一牛=1共渐近线，过点A(2P3,3)的双曲线方程.169解：法一：双曲线x _y = 1的渐近线方程为y = 3x，分两种情况讨论: 1694(1)设所求双曲线方程为+ _ y = 1,a2 b2 =4a4/A (2；3,_3)在双曲线上，二12-9 = 1,a2 b2联立，得方程组无解.设双曲线方程为七_72 = 1, a2 b2，=3,b 4_点A(2S2,_3)在双曲线上，912F _b2 =1.9由联立方程组，解得a2 =4，b2 = 4.双曲线方程为菲_74 = 1.法二：由题意，设双曲线方程为7- _y = t(tM0), 169点A(2、J3,_3)在双曲线上，.(2 由)2 (_3)216 9.t=_4，.双曲线方程为节- x4=1.10. (2011年南京调研)已知双曲线的中心在原点，焦点耳，F2在坐标轴上，离心率为 且过点(4,一/1B).点M(3，m)在双曲线上.(1)求双曲线方程；=t,(2)求证：MF M2=0；求AFMF2的面积.解：(1) e=2,.可设双曲线方程为x2 _y2= 2(20). 过点(4,_&6),.16_10 = 2,即 2 = 6.双曲线方程为x2 _ y2 = 6.证明：法一：由(1)可知，双曲线中a = b =.;6,c = 2；3,.F(_2点，0), F2(2p3, 0),kMF2m3 - 2；3m2kMFikMF 2 = 9-72=m2；点(3, m)在双曲线上，.9-m2 = 6, m2 = 3,故 kMF kMF =- 1,.MF 丄MF ,1 2 1 2 即MF MF = 0.1 2法二：；MF =(-23-3,-m),MF2 =(2J3-3,-m),.mF M2 = (3 + 2寸3) X(3 - 2；3) + M2 =- 3 + M2. ； M 点在双曲线上，. 9- m2= 6，即 m2- 3= 0，.mF M2 = 0.(3) ； F MF 的底 F F =4込, FMF2 的高 H = ImI = 3, SAFMF = F F H = 6.1 2 2 1 211.(探究选做)如图，已知双曲线C：斗-Y； =1(a0, B0),a2 b2L、L2为其渐近线，F为右焦点，过F作直线L/2，且/交双曲线 C于点R,厶GL=M,又过点F作x轴的垂线与C交于第一象限内 的 P 点.(1) 试用FO、FP表示FR；F(2) 求证：学为定值；IFFPI若FR=FM,且久u* 2),试求双曲线c的离心率e的范围. 解：易知 F(c,O), P(c,-),A-B(x - C).A直线 L 的方程为 YY=_ (x-c)1=1a2b2A2 + c2B3，可得R(h,區);又由Y=_ (x_c)，可得m(2,(1)FR = ( -牛,严)，Fo = (-c,0), 2c 2AcFp = (0, -).令Fr = mFo + nFp,A即(-牛,2)=m(-c,0)+n(0,里)2c 2AcAm.kmf =1 3 + 273b2丿 _2C=_cmb32acb=n,a