变上限定积分在一元微积分中的应用薛自学(甘肃农业大学理学院, 甘肃 兰州 730070) 摘要 变上限定积分是高等数学重要的教学内容之一,本文专题讨论它的的一些应用,有助于学生加深对基本概念的掌握,也有助于提高学生的综合解题能力和数学思维能力. 关键词 变上限定积分,极限,导数,不等式1 变上限定积分若函数在上连续,对任意,定义变上限定积分: 定理:若函数在上连续.则变上限定积分()在上可导,且.推论:若函数在上连续,在上可微.则变上限定积分()在上可导,且.熟练掌握变上限定积分的求导方法,对于解决与变上限定积分有关的各种综合问题具有重要的作用.例如,含有变上限积分的综合极限问题,变上限定积分与参数方程和隐函数的综合求导问题,以及与变上限定积分有关的单调性,极值,不等式的证明等等.2 变上限定积分的应用2.1 利用变上限定积分求极限 例1.求极限:分析 若被积函数为它们的原函数不是初等函数,所以无法用初等函数表示其原函数.若用洛比达法则求该极限,不必计算定积分的值,则可求出极限.解 . 例2.确定常数,使得.解 因为当时,且.所以,故.故 解得:;从而2.2 变上限定积分的导数运算例1.求解 例2.设连续.求.解 2.3 利用变上限定积分研究函数利用变上限定积分研究函数的形态在理论上更具备充分性,因而反映的函数性质也更有说服力.在利用变上限定积分研究函数时,一定要先考察函数的可积性,并严格按照求积或求导法则.例1.研究函数在处的连续性与可导性.解 因为 所以 ,函数在处连续.又 所以 ,函数在处不可导.例2.设函数在上连续,且.求函数的极值.解 令,得驻点.当时,；当时, .所以当时,有极小值.另外,还可用来判断的单调性,凹凸性和拐点,求函数的最值.2.4 利用变上限定积分证明不等式例1.设函数在上连续且严格单调增加.证明:证 作辅助函数 ,所以单调递减.故即 例2.设函数,在上连续.证明Cauchy-Schwarz不等式:证 作辅助函数 ,所以单调增加.故.即 参考文献1 同济大学数学教研室.高等数学(上册).北京:高等教育出版社,1988.42 陈文灯,等.高等数学复习指导.北京:清华大学出版社,2003.4