第一讲 绪论数学是历史最悠久的人类知识领域之一。从远古屈指计数到现代高速电子计算机的发明；从量地测天到抽象严密的公理化体系，在五千余年的数学历史长河中，重大数学思想的诞生与发展，构成了科学史上最富理性魅力的题材。了解和探索数学发展的历史，无论对于深刻认识作为科学的数学本身，还是对于全面了解整个人类文明的发展，都具有重要意义。1.1 数学史研究对象 数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。 从研究材料上说，考古资料、历史档案材料、历史上的数学原始文献、各种历史文献、民族学资料、文化史资料，以及对数学家的访问记录，等等，都是重要的研究对象，其中数学原始文献是最常用且最重要的第一手研究资料。从研究目标来说，可以研究数学思想、方法、理论、概念的演变史；可以研究数学科学与人类社会的互动关系；可以研究数学思想的传播与交流史；可以研究数学家的生平等等。 数学史研究的任务在于，弄清数学发展过程中的基本史实，再现其本来面貌，同时透过这些历史现象对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、合理的解释、说明与评价，进而探究数学科学发展的规律与文化本质。作为数学史研究的基本方法与手段，常有历史考证、数理分析、比较研究等方法。1.2 关于数学史的分期 数学发展具有阶段性，因此研究者根据一定的原则把数学史分成若干时期。目前学术界通常将数学发展划分为以下五个时期：1.数学萌芽期(公元前600年以前)； 2.初等数学时期(公元前600年至17世纪中叶)； 3.变量数学时期(17世纪中叶至19世纪20年代)； 4.近代数学时期(19世纪20年代至第二次世界大战)； 5.现代数学时期(20世纪40年代以来)。 世界数学发展脉络 1.3 数学史的意义 1.3.1 数学史的科学意义 与其他知识门类相比，数学是一门历史性或者说累积性很强的科学。重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原先的理论。因此，要探索数学未来的发展方向，适当的途径是研究这门学科的历史和现状。数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系。然而，面对整个庞大的数学知识体系，职业数学家却越来越局限于一、二个专门领域。为了维持数学的生命力，避免现代数学被分割成许多孤立分支的危险，最稳妥的办法也许就是要对于数学的过去成就、传统和目标得到一些知识，也就是说研究数学发展的历史必不可少。 数学的发展决非一帆风顺，而往往充满了犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚至会面临危机。数学史也是数学家们克服困难和战胜危机的斗争记录。研究数学史，了解数学创造的真实过程是十分有益的。这不仅在于历史可以给每一个数学家以应有的评价，从而鼓舞其他人去争取同样的荣誉，而且还在于通过一些光辉的范例可以促进发现的艺术，揭示发现的方法，从而使我们从前人的探索与奋斗中汲取经验教益，获得鼓舞和增强信心。 每一门科学都有其发展的历史，作为历史上的科学，既有其历史性又有其现实性。其现实性首先表现在科学概念与方法的延续性方面，今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的深化与发展，或者是对历史上科学难题的解决，因此我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。数学科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，其概念和方法更具有延续性，比如古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则，我们今天仍在使用，诸如费尔马猜想、哥德巴赫猜想等历史上的难题，长期以来一直是现代数论领域中的研究热点，数学传统与数学史材料可以在现实的数学研究中获得发展。 国内外许多著名的数学大师都具有深厚的数学史修养或者兼及数学史研究，并善于从历史素材中汲取养分，做到古为今用，推陈出新。我国著名数学家吴文俊先生早年在拓扑学研究领域取得杰出成就，七十年代开始研究中国数学史，在中国数学史研究的理论和方法方面开创了新的局面，特别是在中国传统数学机械化思想的启发下，建立了被誉为“吴方法”的关于几何定理机器证明的数学机械化方法，他的工作不愧为古为今用，振兴民族文化的典范。 科学史的现实性表现在为我们今日的科学研究提供经验教训和历史借鉴，以使我们明确科学研究的方向以少走弯路或错路，为当今科技发展决策的制定提供依据，也是我们预见科学未来的依据。多了解一些数学史知识，也不会致使我们出现诸如解决三等分角作图、证明四色定理等荒唐事，也避免我们在费尔马大定理等问题上白废时间和精力。同时，总结我国数学发展史上的经验教训，对我国当今数学发展不无益处。 1.3.2 数学史的文化意义 数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识，成为人类思维方法的一种典范，并日益渗透到其他知识领域，此乃数学影响于人类文化的突出方面之一。在对宇宙世界和人类社会的探索中，数学还具有追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向。这种倾向使数学具有了广泛的适用性。数学越来越成为一种普遍的科学语言与工具，在推动其他科学和整个文化的进步方面起着不可替代的巨大作用。数学作为一种创造性活动，还具有艺术的特征，即对美的追求。数学创造过程中想象与直觉的运用也提供了数学美的源泉。这种以简洁与形式完美为目标的追求，是数学影响于人类文化的又一个重要因素范。数学作为一种文化，对整个人类文明产生了不容置疑的影响，是各个时代人类文明的标志之一。许多历史学家往往通过数学这面镜子来了解其他文化的特征。数学的上述特征，奠定了数学史在整个人类文明史上的特殊地位：不了解数学史，就不可能全面了解整个人类文明史。 数学从它萌芽之日起，就表现出解决因人类实际需要而提出的各种问题的功效。商业、航海、历法的计算，桥梁、寺庙、宫殿的建造，武器与工事的设计等等，数学往往能对所有这些问题作出令人满意的解决方案。数学在现代社会生活中的直接应用更是大量的和经常的。概括地讲，数学对人类物质文明的影响，最突出的是反映在它与能从根本上改变人类物质生活方式的产业革命的关系上。人类历史上先后共有三次重大的产业革命，这三次产业革命的主体技术都与数学的新理论、新方法的应用有直接或间接的关联。数学对于人类精神文明的影响同样也很深刻。数学本身就是一种精神，一种探索精神，这种精神的两个要素，即对理性（真理）与完美的追求，千百年来对人们的思维方式、教育方式以及世界观、艺术观等的影响是不容否定的。更为主要的是，它参与并影响了人类文明史上的历次重大思想革命。数学作为整个人类文化的重要组成部分，一方面受着社会经济、政治和文化等诸多因素的影响，但另一方面，在其漫长的发展过程中，数学又始终作为一种重要力量，推动着人类物质文明和精神文明的进步，其理性之光照亮了人类从蒙昧走向文明的历程。 1.3.3 数学史的教育意义 当我们学习过数学史后，自然会有这样的感觉：数学的发展并不合逻辑，或者说，数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致。我们今日中学所学的数学内容基本上属于17世纪微积分学以前的初等数学知识，而大学数学系学习的大部分内容则是17、18世纪的高等数学。这些数学教材业已经过千锤百炼，是在科学性与教育要求相结合的原则指导下经过反复编写的，是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系，这样就必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素，因此仅凭数学教材的学习，难以获得数学的原貌和全景，同时忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法，而弥补这方面不足的最好途径就是通过数学史的学习。 在一般人看来，数学是一门枯燥无味的学科，因而很多人视其为畏途，从某种程度上说，这是由于我们的数学教科书教授的往往是一些僵化的、一成不变的数学内容，如果在数学教学中渗透数学史内容而让数学活起来，这样便可以激发学生的学习兴趣，也有助于学生对数学概念、方法和原理的理解与认识的深化。 科学史是一门文理交叉学科，从今天的教育现状来看，文科与理科的鸿沟导致我们的教育所培养的人才已经越来越不能适应当今自然科学与社会科学高度渗透的现代化社会，正是由于科学史的学科交叉性才可显示其在沟通文理科方面的作用。通过数学史学习，可以使数学系的学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养，文科或其它专业的学生通过数学史的学习可以了解数学概貌，获得数理方面的修养。而历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。 中国数学有着悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家，出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就，其渊源流长的以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学的发展。由于各种复杂的原因，16世纪以后中国变为数学入超国，经历了漫长而艰难的发展历程才渐渐汇入现代数学的潮流。由于教育上的失误，致使接受现代数学文明熏陶的我们，往往数典忘祖，对祖国的传统科学一无所知。数学史可以使学生了解中国古代数学的辉煌成就，了解中国近代数学落后的原因，中国现代数学研究的现状以及与发达国家数学的差距，以激发学生的爱国热情，振兴民族科学。 数学史在素质教育中的作用： a、数学教材的知识补充 数学是知识积累性科学充数学教材略去了数学活动的过程b、有助于对数学整体的了解 数学教材并非数学全貌c、有助于学生人文精神的培养 数学是科学也是文化 数学与人文科学、社会科学的联系d、爱国主义教育 中国文明中的数学文化 中国现代数学建设之路与数学振兴附录：普通高中数学课程标准（试验）摘录 思考题： 1、找几本数学通史著作，看看它们是如何对数学发展进行分期的，你觉得如何？ 2、数学史与素质教育、应试教育的关系如何？谈谈你看法。