高等量子力学 高一波第五章 密度矩阵与量子统计能够统一描写混合系综和纯粹系综的方法是1927年Von Neumann提出的密度算符方法。可观察量大量观测后的平均值为式中，为密度算符，为对矩阵求迹。通常，且可对一组基展开则，和密度算符为厄密算符，-简单证明！满足归一化条件，（证明过程！）5.1D 二态体系的密度矩阵与极化取基矢为，由密度算符的厄密性，可知密度矩阵中含有3个独立实参数。简单说明！密度算符可写成下面的形式其中，P为极化矢量。利用公式，可证：， -下面举例说明：（1） 完全极化的密度矩阵，（2） 完全非极化，（3） 在z表象看x轴的完全极化，（4） 部分极化。混合系综有75%的z和25%的x组成，则可得，-极化度任一个2维矩阵可以分解为Pauli矩阵之和。5.2 密度矩阵的运动方程在Schrodinger表象中，密度算符初始时刻，t时刻，运动方程，-master equation或Liouville equation与Heisenberg方程的相似性？在自旋1/2的电子二态体系中，令，则运动方程变为，连续本征值下的密度矩阵，5.3极化和散射5.3A 散射的S矩阵依赖于自旋的情形自旋1/2的入射粒子波函数（二分量形式）：，可以推测，相应的运动方程在无限远的渐进解形式为，。这里，散射振幅S依赖于角度和动量。通解的形式为：分析过程：从上式分析可知，两个特解为：则方程的通解为，通过对称性分析，确定常数。假设能够产生与自旋有关的散射的哈密顿量为，式中，第二项为中心势，第三项为“自旋-轨道耦合”假设散射势存在球对称性，则与的各个分量都对易。则为的本征态，相应的本征值为（这里，2个基决定了本征值只有两个，则的本征态只能有2个，量子数只有2个）。注意：改变转动，不影响径向运动。本征方程为,以上可知，的对角项只是的函数，与无关。考虑体系H在空间反演下保持不变：对y-z平面的空间反演算符是，规则，。则空间反演不变要求，在作用下，。经分析，不变，则可得综合以上讨论，S矩阵为引入单位矢量，推导过程如下，这里，上式表明，入射的非极化束流经散射后的极化束流方向为方向，这是宇称守恒定律的结果。由上面的讨论可知，给定散射振幅S，可计算给定方向上散射束流的强度，并由渐近解给出微分散射截面，即-有自旋。-无自旋。-与极化方向无关。解Schrodinger方程，则可得的具体形式。散射后束流的极化方向在微分散射截面中没有显示。5.3B 极化束流引起散射的左右不对称密度矩阵，微分散射截面，采用极化矢量的记法，则有。这里，的纵向极化分量为，横向极化分量为，则，从这里可以看出，散射强度对角度的依赖关系，这是实验上发现的极化粒子束流被散射后呈现左右不对称的表示，当极化矢量，就退回到无自旋粒子散射的情况。2009-11-11上课内容5.4 量子统计学简介5.4.A 密度矩阵与熵用“熵”刻画纯粹系综和混合系综间的深刻区别。这里，当为对角矩阵时，。每一个矩阵元均为的数，所以是半正定的。对于纯粹系统，。对于混合系综，-体系状态的混乱程度。纯粹系综-所有成员均处于同一个量子态，熵取最小值0。完全混乱的系综-每一个量子态等几率被占据，熵取最大值。物理上，在给定Hamiltonian下，体系的熵将单调上升，达到热平衡。-有密度算符运动方程可知，-可同时对角化，取H的本征态为基。表示在能量的本征态中体系得占据几率。取熵的极值，两个约束条件，Lagrange不定乘子法，取变分，。则由归一化条件，利用上式和完备性关系，可得式中，。当体系处在高温极限下，存在，则上式变为，表示此时的体系处于完全混乱的状态，不同的本征态被等几率地占据。5.4B 配分函数式中，定义为Helmholtz自由能。则相应的密度矩阵可以写为，一般情况，可观察量的系综平均值为体系的内能，例子：电子在z轴磁场中运动，体系的Hamiltonian为选取的本征态为体系的基，则密度矩阵为，配分函数经计算，定义单电子的磁化强度，单电子的磁化率，在高温极限下，则此时，磁化率为，-居里定律。5.4C 巨配分函数（体系粒子数不守恒）体系粒子数算符的系综平均为，-约束。巨正则系综：体系与周围环境交换能量和粒子。取熵的极值方程，加上约束，式中，-巨配分函数。定义热力学势，密度矩阵为（通常称为化学势）玻色-爱因斯坦统计：这里考虑全同玻色子组成“理想气体”，体系Hamiltonian为式中，-玻色子体系总粒子数，。则巨配分函数为， 计算理想气体的热力学势，能级上的平均粒子数，高温极限，对于相同的温度，能量越高，平均粒子数越大。低温极限，对于相同的温度，能量越低，平均粒子数越大。费米子情况：服从Fermi-Dirac统计。反对易关系，根据Pauli不相容原理，每个能级上的粒子数只可能取0或1。高温极限，低温极限，此时，令化学势就退回到正则系综的情况。12