4.7 二倍角公式(学案) 姓名:冯波 单位: 平邑一中 联系电话:13721997382【考点分布】二倍角的正弦、余弦、正切.【考试要求】（1）能利用两角和的公式导出二倍角的正弦、余弦和正切，了解它们的内在联系；（2）能正确运用上述公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式的证明. 【基础知识】 1倍角公式的推导 在两角和的三角函数公式、中，当时就得到二倍角的三角函数公式、.= ；= = = ；= .（在公式中、中角没有限制.在中，且时成立）.【感悟】（1）角的倍半是相对的. 如是倍角，是2的半角等；二倍角公式也叫“缩角升幂”公式.2二倍角余弦公式的变形 =，=.（“降幂扩角”公式）3半角公式（不要求记忆）； ；. 【基础练习】 1.已知，那么的值为（）.（A）（B）（C）（D）2. 的值是（）. （A）1（B）2（C）4（D）3. 已知（ ）.（A）（B）（C）（D）4. 若，则=（ ）.（A） （B） （C） （D）5. 设中，则此三角形是 三角形.6. 设cos（）=，sin（）=，且，0，求cos（+）【典型例题】题型一：利用倍角公式化简例1 化简下列各式（1）； （2）.变式训练：化简，其中.【题后反思】（1）解题中注意“1”的代换；开方注意正负的选择；（2）三角函数式是基本三角函数式之一，引进辅助角，化为“一角一函数”形式.题型二：利用倍角公式求值例2 已知为第二象限角，+ =-，求（1）-；（2）2+2的值【题后反思】由三角函数值判断的范围是关键.变式练习：已知，求的值.题型二：利用倍角公式证明例3 试证：=1.（ ）.（A） （B） （C） （D）2. 的值是( ).（A） 2 （B） 2+ （C） 4 （D） 3.当x-2,-时,化简等于( ).(A)-2 (B)-2 (C)-2-2 (D)24.( ).(A) (B) (C)2 (D) 5.已知函数，则是（ ）.(A)最小正周期为的奇函数 (B) 最小正周期为的奇函数 (C) 最小正周期为的偶函数 (D) 最小正周期为的偶函数6. 把函数y=4sin(x+)cos(x+)的图象( ),即可得到函数y=2sin2x的图象(A)向左平移 (B)向右平移 (C)向左平移 (D)向右平移7.(2009山东)将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的解析式是( ).(A) (B) (C) (D) 8. (2009福建)函数最小值是（ ）.(A) (B) (C) (D) 9. 已知，则 .10.若tanx=，则= 11. 已知sin2=，（，）（1）求cos的值；（2）求满足sin（x）sin（+x）+2cos=的锐角x12. (2009山东)设函数.（1）求函数的最大值和最小正周期；（2）设为的三个内角，若，且为锐角，求. 4.7 二倍角公式(教案) 姓名:冯波 单位:平邑一中 联系电话:13721997382【教学目标】1掌握公式的推导及公式的应用条件；熟练运用倍半角公式.2运用公式进行化简、求值和证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力.【重点】熟练运用倍、半角公式解决化简、求值和证明等数学问题.【难点】公式的灵活应用. 【基础知识】 1倍角公式的推导 在两角和的三角函数公式、中，当时就得到二倍角的三角函数公式、.=；=；=.（在公式中、中角没有限制.在中，且时成立）.【感悟】（1）角的倍半是相对的. 如是倍角，是2的半角等；二倍角公式也叫“缩角升幂”公式.2二倍角余弦公式的变形 =，=.（“降幂扩角”公式）3半角公式（不要求记忆）； ；.【基础练习】 1.已知，那么的值为（）.（A）（B）（C）（D）解析：由已知得=，=，=.2. 的值是（）. （A）1（B）2（C）4（D）解析：=.3. 已知（ ）.（A）（B）（C）（D）解析：=.代入可得.4. 若，则=（ ）.解析：=，= -1=.（A） （B） （C） （D）5. 设中，则此三角形是 等边 三角形.解析：由，得=， .由，得， .等边.6. 设cos（）=，sin（）=，且，0，求cos（+）解：，0，.故由cos（）=，得sin（）=.由sin（）=，得cos（）=.cos（）=cos（）（）=.cos（+）=2cos21=.【典型例题】题型一：利用倍角公式化简例1 化简下列各式（1）； （2）.解析：（1）原式=.（2）原式=.变式训练：化简，其中.解析：原式=，当时，原式=；当时，原式=-=，（其中）原式=（其中）【题后反思】（1）解题中注意“1”的代换；开方注意正负的选择；（2）三角函数式是基本三角函数式之一，引进辅助角，化为“一角一函数”形式.题型二：利用倍角公式求值例2 已知为第二象限角，+ =-，求（1）-；（2）2+2的值解：（1）由+sin=-平方得1+2sincos=，即sin=，cos=-.此时+.cos+sin=-0，sincos=0，cos0，sin0.为第三象限角.2+2+，kZ.sincos，即sin-cos0.sin-cos=-=-.（2）sin2+cos2=2sincos+12sin2=.【题后反思】由三角函数值判断的范围是关键.变式练习：已知，求的值.解析：由已知，得，.=20.题型二：利用倍角公式证明例3 试证：=【审题要津】（1）切化弦的运用；（2）消除等式两边的差异.解：左边=，右边=，原等式成立.1.（ ）.（A） （B） （C） （D）解析：原式= =.2. 的值是( ).（A） 2 （B） 2+ （C） 4 （D） 解析：切化弦通分.分子为“1”，分母倍角公式逆运用.3.当x-2,-时,化简等于( ).(A)-2 (B)-2 (C)-2-2 (D)2解析：由已知-,-，+,-,原式=+=|+|+|-|=-(+)-(-)=-24.( ).(A) (B) (C)2 (D) 解析：2.5.已知函数，则是（ ）.(A)最小正周期为的奇函数 (B) 最小正周期为的奇函数 (C) 最小正周期为的偶函数 (D) 最小正周期为的偶函数解析：=.6. 把函数y=4sin(x+)cos(x+)的图象( ),即可得到函数y=2sin2x的图象(A)向左平移 (B)向右平移 (C)向左平移 (D)向右平移解析：y=4sin(x+)cos(x+)=2sin(2x+)=2sin2(x+).7.(2009山东)将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的解析式是( ).(A) (B) (C) (D) 解析: 将函数的图象向左平移个单位,得到=,再向上平移1个单位,得=.8. (2009福建)函数最小值是（ ）.(A) (B) (C) (D) 9. 已知，则.解析：由已知得，=，又得=.所以2=.10.若tanx=，则=解析：原式=，分子分母同除以构造切.11. 已知sin2=，（，）（1）求cos的值；（2）求满足sin（x）sin（+x）+2cos=的锐角x解：（1）因为，所以23.所以cos2=.由cos2=2cos21，所以cos=.（2）因为sin（x）sin（+x）+2cos=，所以2cos（1sinx）=.所以sinx=.因为x为锐角，所以x=.12. (2009山东)设函数.（1）求函数的最大值和最小正周期；（2）设为的三个内角，若，且为锐角，求.解析：（1）=+=.所以函数的最大值为，最小正周期为.（2）=，所以，为锐角，所以=.又为的三个内角，所以，展开求得=.13