重点强化课(四)直线与圆复习导读1.本部分的主要内容是直线方程和两条直线的位置关系、圆的方程、直线与圆的位置关系 2高考对本部分的考查主要涉及直线的倾斜角与斜率的关系、两直线的位置关系的判断；距离公式的应用、圆的方程的求法以及直线与圆的位置关系，常与向量、椭 圆、双曲线、抛物线的几何性质相结合考查3另外，应认真体会数形结合思想的应用，充分利用直线、圆的几何性质简化运算.重点1直线方程与两直线的位置关系例 (1)(2017 江西南昌模拟 )直线(2m 1)x+ (m 1)y 7mr 4= 0过定点()A. 7B. 9A (1 , 3)B.(4,3)D.C. (3,1)(2)(2017 济南调研)一条光线从点(2,2)2 = 1相切，则反射光线所在直线的斜率为(2,3)3)射出，经y轴反射后与圆(x + 3)2+ (y 【导学号：66482389】A.-5或-3B.C.5或- 4D.(1)C (2) D (1)2 mx+ x+ my+ y 7m- 4= 0,即(2x+ y 7)(x + y 4) = 0,2x+ y= 7,x + y = 4,x = 3,解得f则直线过定点(3,1).y =1,(2)由已知，得点(一2, 3)关于y轴的对称点为(2 , 3)，由入射光线与反射光线的 对称性，知反射光线一定过点(2 , 3).设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+ 3 = k(x 2)，即kxy 2k 3= 0.由反射光线与圆相切，则有d= 1 3k2 k3 = 1,寸k + 1解得 k= 4或 k= |.34规律方法1.直线过定点问题，可将直线中的参数赋值，解方程组得交点坐标.2直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的求法以及直 线间的位置关系等注意数形结合思想、分类讨论思想的应用.对点训练1 (2017 福建龙岩二模)已知mn为正整数，且直线2x+ (n 1)y 2 = 0 与直线m灶ny+ 3= 0互相平行，则2m n的最小值为()C. 11D. 16当且仅当2n2m2nm2m =9.nB 直线2x + (n 1) y 2 = 0与直线m灶ny+ 3= 0互相平行, 2n =n 1),2n= mn2 1又 m0, n0,得 + -= 1.m n 2m+ n= (2m+ n) |- + -= 四n,# 2m+ n的最小值为 9.重点2圆的方程(1)若圆 x 2(2) 设圆的方程为x + y + Dx+ Ey+ F= 0,D+ 3E+ F+ 10= 0,则 4D+ 2E+ F+ 20= 0,D- 7E+ F+ 50= 0,22圆的方程为 x + y 2x + 4y 20 = 0.令 x = 0,得 y = 2+ 2 _6或 y = 2 2 .6, M0,- 2+ 2&) , N(0， 2 2 晶或 M(0,- 2 2侗,N(0， 2+ 2晶, | MN=4 6.规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程+ y2 ax+ 2y + 1 = 0 与圆 x2+ y2= 1 关于直线 y = x 1 对称，过点q a, a)的圆P与y轴相切，则圆心 P的轨迹方程为()A.y24x+4y +8=0B.y2+2x 2y+ 2 = 02 2C.y +4x4y +8=0D.y 2x y 1 = 0(2015 全国卷n )过三点A(1,3),耳4,2) , C(1 , 7)的圆交y轴于M N两点，则|MN=()A. 2 6B. 8C. 4 6D. 102222(1) C (2)C (1)由圆 x + y ax + 2y + 1 = 0 与圆 x + y = 1 关于直线 y= x 1 对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y= x 1上，故可得a= 2,即点q 2,2).过点q 2,2)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x+ 2)2+ (y 2)2= x2，整理得2D= 2，解得E= 4,F= 20.y + 4x 4y + 8= 0.有两种方法:(1) 几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.(2) 代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.对点训练2 (2017 河北唐山二模)直线I : X + y= 1与x轴、y轴分别相交于点 A,43B, O为坐标原点，则 0人时切圆的方程为 .(x 1)在(x 1)2+ (y . 2广=2 中，令 x = 0,解得 y= 2 1,故 B(0 ,2 + 1).直线BC的斜率为t：1 2 = 1,0 1 + (y 1)2= 1由题意，设 OAB勺内切圆的圆心为 Mm m，则半径为I m.x y直线I的方程4+ 3 = 1可化为3x + 4y 12= 0,=m解得n= 1或n= 6(不符合题意，舍去).2 2(x 1) + (y 1) = 1.重点3直线与圆的综合问题?角度1圆的切线卜例3-1如图1,已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A, B(B#在A的上方)，且| AB = 2.(1)圆C的标准方程为 圆C在点B处的切线在x轴上的截距为故切线的斜率为 1切线方程为y= x + ,2+ 1.令 y = 0,解得 x=-2- 1,故所求截距为.2 1.?角度2直线与圆相交的弦长问题(2017 郑州质检)设m nR,若直线l : m灶ny 1 = 0与x轴相交于点 A,2, O为坐标原点，则 AOB面积与y轴相交于点B,且I与圆x2+ y2= 4相交所得弦的长为的最小值为由题意知圆的半径为2,且I与圆的相交弦长为2,则圆心到弦所在直线的距离为3. ,m+ n2= 3? m+ n = 3,12mn1产3，即三角形面积的最小值为3.?角度3直线、圆与相关知识的交汇(2015 全国卷I)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线I与圆C：(x 2)2+ (y2 _ _ 、3) = 1交于M N两点.(1)求k的取值范围； 若OM ON= 12,其中O为坐标原点，求|MN解(1)由题设可知直线l的方程为y= kx+ 1. 2 分因为直线l与圆C交于两点，所以|=汁1,所以k的取值范围为5(2)设 Mx1, y1), Nx2, y2).将 y = kx + 1 代入方程(x 2)2+ (y 3) 2= 1,2 2整理得(1 + k)x 4(1 + k)x+ 7= 0.所以X1+X21 +k72.2, X1X2=2.81+ k1 + kf f2OM ON= X1X2+ y1y2= (1 + k ) X1X2+ k( X1 + X2) + 1 4k 1+ k=2+ 8.1 + k由题设可得4k ；2k + 8= 12,解得k= 1,所以直线I的方程为y = x+ 1.故圆心C在直线I上，所以| MN = 2.12 分规律方法1.研究直线与圆的位置关系最常用的方法为几何法，将代数问题几何化， 利用数形结合思想解题.2. (1)圆与直线I相切的情形：圆心到 I的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于I .(2) 过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点 的直径.(3) 与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离 d,及半弦长2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.(1)( x 1)2+ (y 2) 2= 2 (2) 2 1(1)由题意知点 C的坐标为(1 ,2)，圆的半径r = . 2.所以圆的方程为(x 1)2+ (y 2)2= 2.