第4讲直线与圆锥曲线的位置关系考纲展示命题探究1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元二次方程即消去y得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切或相交；0时，直线与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出x1x2，x1x2，则弦长为|AB|x1x2|y1y2|(k为直线的斜率且k0)，当A，B两点坐标易求时也可直接用|AB|求出3圆锥曲线以P(x0，y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率圆锥曲线方程直线斜率椭圆：1(a0，b0)k双曲线：1(a0，b0)k抛物线：y22px(p0)k其中k(x1x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标注意点直线与圆锥曲线的相切与只有一个公共点的关系直线与椭圆(圆)只有一个公共点是直线与椭圆(圆)相切的充要条件，而直线与双曲线(抛物线)只有一个公共点，只是直线与双曲线(抛物线)相切的必要不充分条件.1思维辨析(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点()(4)如果直线xtya与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|y1y2|.()(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2椭圆ax2by21与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为()A. B.C. D.答案A解析联立椭圆方程与直线方程，得ax2b(1x)21，即(ab)x22bxb10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y21x11x22，AB中点坐标为，AB中点与原点连线的斜率k.故选A.3直线l经过抛物线y24x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为_答案xy10或xy10解析设直线l的斜率为k，则方程为yk(x1)，与y24x联立得：k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，|AB|x1x2p28得k21，k1，l的方程为：xy10或xy10.考法综述直线与圆锥曲线位置关系的判断、相交弦的弦长计算、中点弦问题等是考查热点，同时与函数、数列、平面向量等知识综合考查，难度较大命题法1直线与圆锥曲线的位置关系典例1(1)若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A. B.C. D.(2)若直线l：y(a1)x1与曲线C：y2ax恰好有一个公共点，则实数a的取值为()A. B1,0C. D.解析(1)由，得(1k2)x24kx100.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则解得k)将点A(1，)代入方程得1，整理得a45a240，解得a24或a21(舍去)，故所求椭圆方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，B、C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由得4x22mxm240，则8m216(m24)8(8m2)0，0m28.由x1x2m，x1x2，得|BC|x1x2|.又点A到BC的距离为d，故SABC|BC|d ，当且仅当2m2162m2，即m2时取等号当m2时，满足0m2b0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1.由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxn，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|x4x3| .由已知，四边形ACBD的面积S|CD|AB| .当n0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.【解题法】弦中点问题的解题策略(1)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题时，常用“点差法”“设而不求法”，并借助一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验(2)点差法求解弦中点问题的基本步骤为：设点：即设出弦的两端点坐标代入：即代入圆锥曲线方程作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解1过点P(2,0)的直线与抛物线C：y24x相交于A、B两点，且|PA|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为()A. B.C. D2答案A解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，分别过点A、B作直线x2的垂线，垂足分别为点D、E.|PA|AB|，又得x1，则点A到抛物线C的焦点的距离为1.2设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B.C. D.答案D解析由已知得F，故直线AB的方程为ytan30，即yx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立将代入并整理得x2x0，x1x2，线段|AB|x1x2p12.又原点(0,0)到直线AB的距离为d.SOAB|AB|d12.3.已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A. B.C. D.答案D解析由题意可知准线方程x2，p4，抛物线方程为y28x.由已知易得过点A与抛物线y28x相切的直线斜率存在，设为k，且k0，则可得切线方程为y3k(x2)联立方程消去x得ky28y2416k0.(*)由相切得644k(2416k)0，解得k或k2(舍去)，代入(*)解得y8，把y8代入y28x，得x8，即切点B的坐标为(8,8)，又焦点F为(2,0)，故直线BF的斜率为.4已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3C. D.答案B解析设AB所在直线方程为xmyt.由消去x，得y2myt0.设A(y，y1)，B(y，y2)(不妨令y10，y20)，故yym，y1y2t.而yyy1y22.解得y1y22或y1y21(舍去)所以t2，即t2.所以直线AB过定点M(2,0)而SABOSAMOSBMO|OM|y1y2|y1y2，SAFO|OF|y1y1y1，故SABOSAFOy1y2y1y1y2.由y1y2y1(y2)223，得SABOSAFO的最小值为3，故选B.5在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_答案解析直线xy