第一章 概率论的基本概论确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”-为一随机事件。例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？这就要引入”概率”的概念。概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。1.1 随机试验序号条件观察特性可能结果E1抛一枚硬币正、反面出现的情况正面H,反面TE2将一枚硬币抛掷三次正、反面出现的情况HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTTE3同上出现正面的次数0,1,2,3E4抛一颗骰子出现的点数1, 2, 3，4，5，6E5记录电话交换机呼唤次数一分钟内接到的呼唤次数0,1,2,3,.E6一批灯泡中任抽取一次测量使用寿命非负实数E7记录某地昼夜温度最高和最低温度以上试验的共同特点是:1试验可以在相同的条件下重复进行；2试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发生哪一个可能结果在试验之前不能预言。 我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E。1.2样本空间与随机事件(一) 样本空间与基本事件E的一个可能结果称为E的一个基本事件，记为，e等。E的基本事件全体构成的集，称为E的样本空间，记为S或,即：S=|为E的基本事件，=e.注意：的完备性，互斥性特点。例：1.1中试验E- E7E：S=H,T E：S= HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT E：S=0，1，2，3 E：S=1,2,3,4,5,6 E: S=0,1,2,3, E：S=t E7：S=（二） 随机事件 我们把试验E 的全部可能结果中某一确定的部分称为随机事件。记为 事件是由基本事件组成的，事件是样本空间的子集。集合论集合 点 子集概率论S A 在一次试验中，事件A 发生的含义是，当且仅当A 中的某一个基本事件发生。事件A 发生也称为事件A 出现。 必然事件：S 不可能事件： 例1.(P4) 在E2中事件A1:”第一次出现是的H”,即：(三) 事件的关系与运算 设E 的S ，A ，B， 123457。 记。(常用的关系） 补充1 2 3 吸收律 若，则特别注意： 德莫根律（对偶公式）推广：，。例2：P6,在例1中.其它例子：例3：设甲中，乙中，问与各表示什么事件？是否是相等事件？留为练习例4：一射手向目标射击3发子弹，表示第i次射击打中目标。试用及其运算表示下列事件：（1）“三发子弹都打中目标”；（2）“三发子弹都未打中目标”；（3）“三发子弹至少有一发打中目标”；（4）“三发子弹恰好有一发打中目标”；（5）“三发子弹至多有一发打中目标”.留为练习1.3 概率与频率(一） 事件的频率及其稳定性 设某试验的样本空间为，为E的一个事件。把试验E重复进行了n次，在这n次试验中，A发生的次数称为A的频数。称为事件A在n次试验中发生的频率，记作:。 频率的基本性质(1) 对任意事件A，有；(2) ，；(3) 若是互不相容的，则，推论：对任一事件A，有。实践证明：当试验次数n很大时，事件A的频率几乎稳定地接近一个常数p。频率的这种性质称为频率的稳定性，它是事件本身所固有的。书上p89页例1，2.概率的频率定义 定义1.1 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验中事件A发生的次数。当试验次数n很大时，如果频率稳定地在某数值p附近摆动，而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动的幅度越来越小，则称数值p为事件A在这一组不变的条件下发生的概率，记作p。补充：概率的几种度量方法事件A的概率，记为P(A)，表示该事件发生的可能性大小，是事件的一个非负实值函数，满足某种概率进行代数运算的公理。 对概率P(A)有几种不同的度量方法：前面给出了用频率度量概率的方法，也称为古典概率度量。还是二种度量方法。1. 几何概率度量表示”在区域中随机取一点，而该点落在区域g中”这一事件。例：这时，可以是整个园：测度为面积；也可以是整个园周：测度为长度。2. 主观概率度量对事件A的信念度称为这一事件的概率P(A).主观概率（信念度）是通过相对似然的概念来运算的。 例如：见朱手稿。现通过例子说明此方法：例1：事件A”明天下午3点深圳市区有雨”，求P(A): 即求A的主观概率；现有一大转盘，标有红色区域，事件B：”指针落在红色区域”。让你选择A发生还是B发生的可能性大，为了迫使你选择，有这样的将励机制，。选择对的话，将10万元。 红色区域 如果开始时，红色区域充满整个园，你当然要选B发生的可能性大，逐步调节红色区域的大小，渐渐缩小，。等到选A或B都一样时停止，这时，可以由B的几何概率作为A的主观概率。当你对选A或B谁发生的可能性大没有偏好时，。例2. 假如你面临以下两种选择：1.如果事件A发生，你将得到少量的报酬R；否则没有报酬。2.参加抽奖，你赢得一份小报酬R的概率为P，但是你输或者说你得不到报酬的概率为1-P。如果你对1，2两种选择没有偏好，那么你判断事件A发生的概率为P.(主观)(二) 概率的公理化定义概率的公理化定义 定义1.2 设试验E的样本空间为S，如果对每一个事件A都有一个实数与之对应，且满足下面三条公理：公理1（非负性）：对任一事件A，有；公理2（规范性）：对必然事件S，有；公理3（完全可加性）若可列无穷多个事件互不相容，则，那么称为事件A的概率。 概率的性质(1);(2)有限可加性: 若互不相容，则; (3)对事件A,都有;(4) 若,则 ; ； 特别的，对任何事件A，都有;(5) 对任何两个事件A,B，都有 ;(6) 对任何n个事件,都有例10-12为第一版上的例子。例10： A,B是E中二个事件，已知 ，求 解：例11：在某城市的居民中订购报纸的情况是：订购A报的占45%，订购B报的占35%；订购C报的占30%，同时订购A,B的占10%，同时订购A,C的占8%，同时订购B,C的占5%，同时订购A,B,C的占3%。求下列事件的概率（百分率）（1）只订购A报纸的；（2）至少订一种报纸的。 例12：在所有的两位数（即从10至99）中，任取一个数，求这个数能被2或者3整除的概率。 1.4 等可能概型（古典概型）一、古典概率1古典概型与计算公式 E满足： S中基本事件个数是有限的n ； 每个基本事件发生是等可能的.称E为古典概型。 E中事件A包含k个基本事件，则A发生的概率为P(A). 2古典概率的基本性质 设E是古典概型，其样本空间为，A，A，A，A是E中事件： 0P（A）1 P（S）=1，P（）=0 若A，A，A是互不相容的事件，则有P； 推论： P（A）=1- P（）。 例1 P13，将一枚硬币掷三次，。P14-17 例27.照书上讲。以下例4-9为第一版上的例子：例4：E中求任取一球的号码为偶数的概率。解：设A=所取的球的号码为偶数= w2，w4，w6 即A中基本事件数k=3，于是P（A）=.例5：（1.10）在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码。每次任取一个球，记录其号码后放回袋中，再任取下一个。这种取法叫做“有放回抽取”。今有放回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数的概率。例6：(1.11) 在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码。每次任取一个球，记录其号码后不放回袋中，再任取下一个。这种取法叫做“不放回抽取”。今不放回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数的概率。 例7：盒中有a个红球，b个白球（a2 , b1），每次从中任取一球，不放回地连取三次，求下列事件的概率：(1) “ 取出的三个球依次为红，白，红色球 ”A ；(2)“ 取出的三个球有两个是红色球 ”B . 例：(1.13) 在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码。今任取两个球，求取得的第一个球号码为奇数，第二个球号码为偶数的概率。 例8：（1.14）设一批同类型的产品共有件，其中次品有件。今从中任取（假定）件，求次品恰有件的概率 例9：一箱内装有同类产品六件（其中4件是正品，二件是次品）。从中每次取一件，连取两次。求下列事件的概率：（1）“ 取到的两件产品的质量是相同的 ”A ；（2）“取到的两件产品至少有一件是正品”B .1.5条件概率(一） 条件概率例1 将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况，设事件A为”到少有一次为H”， 事件B为”两次掷出同一面”。现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。解：样本空间为S=HH,HT,TH,TT,A=HH,HT,TH, B=HH,TT于是在A发生的条件下B发生的概率（记为P(B/A)）为：P(B/A)=1/3注意到：易知：1. 定义：设A,B为E中的二个事件，且，则在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率定义为：.同样若，则。2. 性质（定理）如果,则是概率.3. 计算方法法一：公式计算法;法二：直接计算法.不难验证，条件概率P(/A)符合概率定义中的三个条件：1.非负性2.完全性3.可加性P19例2 P19，。下面的例11-13为第一版。例11：甲乙二厂同生产一种零件，分放在