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竞赛讲座15 -函数方程一、 相关知识函数方程的解是 函数方程 的解是 二、函数方程的题型许多函数方程的解决仅以初等数学为工具,解法富于技巧,对人类的智慧具有明显的挑战意味,因此,函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。1、确定函数的形式 尚无一般解法,需因题而异,其解是多样的:有无限多解的,有有限个解的,有可能无解(如:方程无解)。2、确定函数的性质3、确定函数值三、求函数的解析式1、换元法例题1、设函数满足条件,求。例题2、设函数定义于实数集,且满足条件,求。 :函数在处没有定义,但对所有非零实数有:,求。答案:求满足条件的。2、赋值法例题1、设函数定义于实数集上,且,若对于任意实数、,都有:,求。例题2、设函数定义于自然数集上,且,若对于任意自然数、,都有:,求。四、 究函数的性质例题、设函数定义于上,且函数不恒为零,若对于任意实数、,恒有:。 求证: 求证: 求证:若对常数和任意,等式都成立,求证:函数是周期函数。:设函数定义于实数集上,函数不恒为零,且对于任意实数、,都有:,求证:。
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