2016届内蒙古赤峰市高三4月统一能力测试数学（文）试题一、选择题1设全集，集合，则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：因,故,应选A.【考点】集合的交集运算.2已知复数，则（ ）A的实部为 B的虚部为C D的共轭复数为【答案】C【解析】试题分析：因,故,应选C.【考点】复数的概念及运算.3若方程（是常数）则下列结论正确的是（ ）A任意实数方程表示椭圆B存在实数方程表示椭圆C任意实数方程表示双曲线D存在实数方程表示抛物线【答案】B【解析】试题分析：显然当时,该方程表示椭圆,故应选B.【考点】椭圆的标准方程.4已知，且与垂直，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由题设,即,也即,故,应选C.【考点】向量的坐标形式及运算.5某产品在某零售摊位的零售价（单位：元）与每天的销售量（单位：个）的统计资料如下表所示：1110.5109.595681010根据上表得回归直线方程，其中，按此回归方程估计零售价为5元时的销售量估计为（ ）个A16个 B20个 C24个 D28个【答案】C【解析】试题分析：因,代入,可得,则,故当时,应选C.【考点】线性回归方程及运用.6不等式在上恒成立的必要不充分条件是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：因不等式恒成立的充要条件是,故当时,不等式不是恒成立的,故是不充分条件,应选C.【考点】充分必要条件的判定和运用.7执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A34 B55 C78 D89【答案】B【解析】试题分析：由算法流程图所提供的信息可以看出,因输出的结果是,故应选B.【考点】算法流程图的识读和理解.8设是公差的等差数列的前项和，且成等比数列，则（ ）A BC D【答案】B【解析】试题分析：由题设可得,解之得,故,应选B.【考点】等差数列的通项及前项和.9已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：从三视图提供的图形信息和数据信息可知该几何体的一个四棱柱去掉一个三棱锥角所剩余的几何体.其体积,故应选A.【考点】三视图的识读和理解.10已知，若和是函数的两个相邻的极值点，将的图像向左平移个单位得到函数的图像，则下列说法正确的是（ ）A是奇函数B的图像关于点对称C的图像关于直线对称D的周期为【答案】B【解析】试题分析：由题设,故,即,所以；又因为,故,又因为,故,所以.将其图象向左平移个单位后得,显然该函数的图象关于点对称.故应选B.【考点】三角函数的图象和性质.【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以一道求函数解析表达式为的实际应用问题为背景,要求研究经过平移后的函数的图象和性质.解答本题时,首先要求确定解析式中的未知参数的值,求得,然后向左平移个单位后得.这里确定的值是解答本题的关键.11已知点满足，过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）A2 B C D4【答案】D【解析】试题分析：因要使弦最短,则弦心距最大,根据图形可知,圆内部的点到圆心距离最大,此时,因此最小弦长,故应选D.【考点】线性规划和直线与圆的位置关系的等有关知识的综合运用.【易错点晴】本题考查的是线性规划的有关知识与直线与圆等知识的综合运用.解答时先依据题设条件画出不等式组及圆表示的平面区域和图形,如上图, 借助题设条件可知使弦最短,则弦心距最大. 根据圆的几何性质和不等式表示的区域可知,圆内部的点到圆心距离最大,此时,因此最小弦长,从而使问题简捷巧妙获解.12已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，左、右焦点分别是，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率的平方为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由题设可知以为直径的圆与直线相切,而直线的方程为,即,故圆心到直线的距离,即,也即,所以,解之得,故应选D.【考点】椭圆的几何性质等知识的综合运用.【易错点晴】椭圆是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用椭圆的几何性质和题设中的条件将问题转化为圆心到直线的距离的问题,建立了关于的方程,从而求得离心率.借助椭圆的定义和题设条件建立方程是解答好本题的关键.二、填空题13已知，且，则_【答案】【解析】试题分析：因,故,所以，,应填.【考点】三角变换及运用14展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是_【答案】【解析】试题分析：因,故令,则,又由题设可知,故其常数项为,应填.【考点】二项式定理及运用15已知长方体各个顶点都在球面上，过棱作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为_【答案】【解析】试题分析：由题意可知当截面圆的直径是时,过的截面圆的面积最小,即,又,故球心距,应填.【考点】球的几何性质及运用【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是立体几何中的重点和难点问题,也是各级各类考试的重要题型之一.求解时一定要先搞清几何体是怎样与球体内切和外接的,这是解答这类问题的关键也是解好这类问题的突破口.解答本题时,其中的题设条件截面面积最小是较难领会和理解的.只要搞清这句话的含义就能顺利求解球的半径了.因此这是本题的难点,经过分析当截面圆的直径是时,过的截面圆的面积最小,由此可求得求的半径,继而求得球心距.16已知函数在上有两个零点，则实数的取值范围_【答案】【解析】试题分析：由题设函数在上有两个零点可得方程在区间内有两根.即在区间内有两根,也即直线与函数的图象有两个交点.因,故当时,函数单调递减；当时,函数单调递增,其最小值为,而,且,故当时,直线与函数的图象有两个交点.应填.【考点】导数和函数的图像与性质等知识的综合运用【易错点晴】本题设置的是一道函数在上有两个零点的前提下求参数的取值范围问题.解答时要先将函数的零点问题转化为方程有两个根的问题.进而分离参数,再运用函数思想将问题转化为研究函数的图象的性质和最大最小值得问题.求解时,先对函数求到得到,再求得最小值是,最后借助函数的图象判定当时, 直线与函数的图象有两个交点,从而使得问题获解.整个求解过程体现了转化与化归的数学思想和数形结合的思想.三、解答题17设数列的前项之和为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用等比数列的知识求解；(2)借助题设条件运用错位相减法求解.试题解析：（1）解：，则，作差得：，又，即，知，是首项为，公比为的等比数列， （2）由（1）得：， 【考点】等比数列的通项、错位相减法求和等有关知识的综合运用18如图，在多面体中，四边形是正方形，是正三角形，（1）求证：平面平面；（2）求该几何体的体积【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；(2)借助题设条件运用分解转化法求解.试题解析：（1），满足，于是，又在平面内，所以平面 （2）依题意得：，而，故 【考点】空间直线与平面的位置关系中面面垂直的判定、体积转化法等有关知识的综合运用19从某校随机抽取200名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数1122163344445506247128494合计200（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组【答案】(1)；(2)；(3)第四组.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用频率分布表和直方图的知识求解；(2)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(3)借助频率分布直方图及分布表运用加权平均数公式计算分析推断.试题解析：（1）根据频数分布表知，200名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有12+4+4=10名，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是，故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9 （2）课外阅读时间落在组内的有34人，频率为，所以，课外阅读时间落在组内的有50人，频率为0.25，所以 （3）（小时），所以样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组【考点】频率分布直方图、频率分布表、加权平均数等有关知识的综合运用20已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且与轴垂直（1）求椭圆的方程；（2）过作直线与椭圆交于两点，求面积的最大值【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)借助题设条件将点在椭圆上建立方程求解；(2)借助题设条件联立方程组,建立目标函数运用基本不等式求解.试题解析：（1）由已知得：，故椭圆方程为 （2）设的直线方程为；由，得，当时取等号， 面积取最大值为 【考点】椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式等有关知识的综合运用【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问的求椭圆的标准方程问题时,直接依据题设条件将点的坐标代入椭圆方程建立方程,然后再结合基本量的关系,求出的值,最终求出椭圆的方程;第二问的求解过程中,先设的直线方程为,再与椭圆方程联立方程组消去得.然后再借助坐标之间的关系建立目标函数,最后运用基本不等式求出其最小值,从而使得问题获解.21设函数（1）当时，求函数的图像在点的切线方程；（2）若存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数的几何意义求解；(2)借助题设条件运用导数与函数单调性的关系分析推证.试题解析：（1）当时，所以，又因为，所以在点处的切线方程为（2）因为