第九章 明暗分析 本章将介绍光在物体表面的反射物理特性以及利用反射特性估计表面形状的方法，即光度立体法（Photometric Stereo）在讨论光度立体法及从明暗恢复形状(Shape from Shading)之前，我们将首先介绍成像物理学，即场景中各点的光强度在图像平面上的映射过程（通常将这一过程称为成像）本章将按照Horn 1986所做的开创性工作对有关的理论和算法展开讨论91 图像辐照度 我们知道，通过投影原理可以确定场景中的点在图像平面中的位置，但并不能确定该点的图像强度图像强度可用本节将要介绍的成像物理学来确定，其中用于描述图像强度的一个术语是图像辐照度（Irradiance）由于强度、亮度或灰度等术语使用的十分普遍，因此本书通篇将这些术语视为图像辐照度的同义词 图像平面中一点的图像辐照度是指图像平面点单位面积接收的辐射（radiance）功率。辐射为输出能量，辐照为输入能量对图像来说，图像的辐照源对应景物对光源的反射，即场景的辐射。也就是说，图像平面上一点的辐照度对应于图像点到场景点方向的场景辐射能量： (91)场景点位于从投影中心到图像点的射线上为了找到图像的辐照源，我们必须沿这条射线返回到发射射线的表面片上，并且弄清楚场景照明光是如何被表面片反射的 决定场景表面片辐射的因素有两个：一个是投在场景表面片上的照明，另一个是表面片反射的入射照明部分投在某一特定表面片上的照明量取决于该表面片在场景中相对于光源的分布位置在某一特定方向上被表面片反射的入射照明部分取决于表面材料的光学特性图91在一个无限小的表面片上建立极坐标系，用来描述表面片可视半球方向的照明和辐射方向 考虑场景中一个无穷小的表面片被一个单独的点光源照明在表面片上建立一个坐标系，如图91所示此坐标系表示能量可以到达或离开该表面所有可能的方向半球设表示在极坐标中相对于表面片的场景照明点光源的方向，设表示能量从表面片中发射的方向从某一方向到达该表面片的能量为，从表面片向某一方向辐射的能量为从表面片往某一方向辐射的能量与表面片从某一方向接收的能量的比值定义为双向反射分布函数（Bidirectional Reflectance Distribution Function，BRDF），用表示双向反射分布函数取决于表面材料的光学特性辐射量与辐照量的关系式为： (92)这可能是一个一般的公式，可能是一个很复杂的式子，但在计算机视觉的大多数感兴趣的场合中，可能相当地简单对大多数材料来说，BRDF只取决于入射和发射角之差： (93)图9.2 半球上某一表面片和其对应的角增量和组成的立体角示意图911照明给定表面材料的BRDF和光源的分布，就可以计算一个表面片发出的光量下面介绍两种类型的照明：点光源和均匀光源 首先介绍计算一般分布光源射到一个表面片的总辐照公式坐标系就是在图91中描绘的可能方向半球极坐标，如图9.2所示表面片上的全部辐照就是从半球中所有方向上照到表面片上的辐照总和将通过单位半球（半径为1）上每一个小片面积上的辐照累加起来，直到计算完半球的全部面积由半球上某一表面片和其对应的角增量和组成的锥形空间，称为立体角： (94)式中的是考虑到越接近半球顶部，半球面积越小半径的球面积为，单位半径的半球面积为半球的面积可以由组成半球的立体角加起来得到：(95)在方程94中如果没有因子，半球面的各个无穷小单元加起来就得不到正确的总面积穿过球面的总的辐射量是对无穷小表面片加权穿过每一个表面片对应的单位立体角辐射量的积分让表示从方向上穿过半球单位立体角上的辐射量，则表面片接收的总辐照量为： (96)式中多了一个附加项，这是因为透视缩比效应（foreshortening）造成表面片在照明方向上变小从表面片反射出的辐射量为 (97)基于场景辐射等于图像辐照假设，在图像平面中，位置处的图像辐照与场景中相对应的表面片上的辐射量相等： (98)式中场景辐照的发射角度由场景表面的几何性质决定注意：对每一个图像位置，都可以在相对于表面法线或表面片的极坐标中，计算出对应的场景位置、表面片的表面法线以及从表面片到图像平面点的连线的角度为了从场景中的表面几何和光源的分布确定整幅图像的辐照量，必须知道场景表面的BRDF这正是下一节讨论的主题912反射 下面将介绍三种不同类型的反射： Lambertian反射（也叫散光反射、漫反射）、镜面反射、 Lambertian反射和镜面反射组合。(1) Lambertian反射Lambertian 表面是指在一个固定的照明分布下从所有的视场方向上观测都具有相同亮度的表面，Lambertian 表面不吸收任何入射光Lambertian反射也叫散光反射，不管照明分布如何，Lambertian 表面在所有的表面方向上接收并发散所有的入射照明，结果是每一个方向上都能看到相同数量的能量许多无光泽表面都大致属于Lambertian型的，除了下面将提到的情况以外，许多表面在性质上都属于Lambertian 型 Lambertian 表面的BRDF是一个常数： (99)辐射独立于发射方向，辐射可通过累加来自所有可能方向半球的入射光线上的BRDF效应得到： (910)其中是在表面片上的总入射光 下面讨论在一个远距离点光源的照明下，一个Lambertian 表面的可感觉亮度。在相对于表面片法线的一个方向上，一个点表面照明描述如下： (911)式中指的是总照明本质上，-函数仅限于照明到达表面片的方向与方向之间方程911分母中有一个正弦项，将其引入方程96时，就得到总照明 将方程911中的照明函数和方程99中的BRDF函数引入表面片辐射方程97，得到了感觉亮度方程: (912)这就是Lambert余弦定律，即指由点光源照明的表面片的感觉亮度随着单元表面法线的入射角度变化而变化随入射角变化是由于因为相对于照明方向表面片的透视缩比效应换句话说，一块给定面积的表面片，当它的法线指向照明光线方向时，可以获取最多的光照当表面法线偏离照明方向时，从照明方向看过去的表面片面积变小了，因此表面片的亮度也降低了如果你想亲自看一看这个效应的演示，请拿一个球状物体，比如一个白球，关掉房间里的所有灯，只打开一个灯泡，你将会看到球体上最亮的部分是表面法线指向照明方向的部分，并且这与你相对于球所处的位置无关，球体上的亮度从对应于光源最亮的一点出发，向四周所有方向以相同速率递减 假定照明不是一个点光源，而是在所有方向都是均匀的，其发光总强度为那么亮度可由下式给出： (913)现在，Lambertian 表面的被感觉的亮度在所有方向上都相同，这是因为不管表面片朝向何方，它都能接收到同样数量的照明(2) 镜面反射 镜面在某一方向上反射所有的入射光，反射方向角相对于镜面法线来说与入射角相等，但在法线的另一侧换句话说，从方向来的光线的反射方向镜面的BRDF为: (914)BRDF中需要和因子，以消去方程97中由透视缩比和立体角产生的相应因子将式914代入式97，得到 (915)该方程表明入射光线被表面片反射出去，如同理想的镜子一样(3) Lambertian反射和镜面反射组合在计算机图形学中，通常用镜面反射和散光反射一起来构成物体反射特性模型： (916)式中常量控制着两个反射函数的混合度镜面反射和散光反射的相对比例随着物体表面材料的不同而变化光滑的物体，或者说闪亮的物体，其镜面反射的成分要高于无光泽的物体92表面方向 上一节讨论了照明与被感觉亮度关系，该关系表示在一个设在假想表面片上的坐标系中为了将这一结果应用到计算机视觉中，必须在如图93中的图像平面坐标系中重新讨论表面反射和场景照明表面方向必须在摄像机坐标系中表示考虑一个与光轴对准的球，如图94所示想象球上的一个点，并假定一个平面在该点与球相切该平面的法线也是球上对应点的表面法线 图93场景中一点图像平面上的投影 图94示意表面方向和图像坐标关系的高斯球假定这一点到图像平面的距离是： (917)对物体上任意一点，它的图像坐标为，在光度立体视觉中，为了简化问题，一般假定物体表面各点值的变化远小于物体到摄像机的距离，即和是物体表面上的两个点，。因此常常认为物体上的所有点，根据透视投影公式1.5，并设，有如下等式： （9.18）考虑物体表面一点的邻近点其中点的深度为。为了建立点的深度变化与图像平面坐标变换和之间的联系，即而得到和和的关系，考虑一下函数在点的Taylor级数的展开就可得到答案： (918)对和的偏微分与场景表面上点处的正切平面倾斜角有关 在点处的表面梯度是一个矢量记为： (919)深度值和比例系数皆为未知数，为了减少未知参数，可令：，于是上式为： （9.20）由于和只差一个比例因子，因此，如果能够根据上式求出，就能求出关于一个常数因子的物体形状。这样问题就归结为求取表面梯度矢量。 表面片的法线与梯度的关系如下： (921) 该式子简单地表明对应于深度的单位变化，在和的相应位移量分别为和单位表面法线可以通过表面法线除以它的长度得到： (922)93 反射图 将场景照明、表面反射和（在以观察者为中心的坐标系中）表面方向表示的组合称为反射图它确定了在给定照明分布和表面材料的情况下，一个表面片在特定方向上的亮度在本节中，假设使用平行投影，所以图像平面坐标将由表示，略去了上标撇 考虑场景中的一个表面片，它对应于图像平面坐标轴和的表面方向是和假设该表面片具有Lambertian反射特性，并且由一个点光源照明在912节中，已计算出表面片的辐射为 (923)式中，是表面片的法线与光源方向矢量间的夹角下面讨论在以观察者为中心的坐标系中对应的表示方法。在92节中讲述的以观察者为中心的坐标系中，表面法线仅是，光源的方向为两个矢量间夹角的余弦是两矢量的点积除以每个矢量的长度，所以表面法线和光源方向之间的夹角的余弦是： (924) 对于一个给定的光源分布和一个给定的表面材料，所有表面方向和的反射都能从表