一、选择题(本大题共8 小题，每小题3 分，共24分)1、 设 X=a, b, c, T= , a,b, c,a, b, c,则拓扑空间(X, 丁)是().(A) T 空间 (B) 正则空间 (C) Hausdorff 空间 (D) T 空间 102、 设X是拓扑空间，C是X的一个连通分支，则下列说法错误的是()(A) C是最大的连通子集(B) C 一定是闭集(C) C 一定是开集(D) C 可能是既开又闭的子集3、 设 X=x，y，z，A=x，T=，x，X是 X 上的拓扑，则 d(A) = ()(A) y，z (B) x，z(C) x(D) x，y，z4、下列说法正确的是()(A) 实数空间 R 是紧致空间(B) 有理数集Q作为实数空间R的子空间是连通的(C) 单位圆周S 1与实数空间R同胚(D) 可分空间在连续映射下的像也是可分的5、 设 X 是离散空间，则()(A) X是连通空间(B)对任一拓扑空间Y，映射f : Y 一 X都连续(C) d(A)=，A是X的任意子集(D) X是可分空间6、 设X是拓扑空间，A，Bu 乂，则()(A)d(d (A) C A U d (A)(B)方=AD B(C)(A U B)。= AU B。(D) d (A) A d(B) C d(A G B)7、下列说法错误的是 ()(A) 拓扑空间的离散性是可遗传的(B) 拓扑空间的连通性是可遗传的(C) 拓扑空间的第一可数性是可遗传的(D) 拓扑空间的第二可数性是可遗传的8、设Y是拓扑空间X的子空间，贝9()(A) 若A是Y中的开集，则A也是X中的开集(B) 若X是局部连通空间，则Y也是局部连通空间(C) 若A UY，则A在X中的闭包也是A在Y中的闭包(D) 若T是Y上的相对拓扑，则T是使内射ilY：Y X连续的最小拓扑二、判断题(本大题共 8 小题，每小题2 分，共 16 分 )1、如果Y是拓扑空间X的连通子集，则厂也是X的连通子集.()2、实数空间R是连通空间但不是局部连通空间.（）3、T 空间中的有限子集都不是闭集 （）14、A 空间中的的聚点可以用序列收敛的性质来刻画. （）15、 f : X - Y 是映射，则对任意的 A C X , f -1（f （A） C A .（）6、Hausdorff 空间中的收敛序列只有一个极限点 （）7、 连续映射下保持的性质就是拓扑不变性质.（）8、X是连通空间当且仅当X中存在既开又闭的非空真子集.（ 三、简述和证明（本大题共 3 题，共 34 分 ）1、设X是拓扑空间，R是X上的一个等价关系；验证 （10分）T = V C X / R I p-i（V）是X中的开集是商集X/R上的拓扑，并证明T是使自然映射p : X 一 X / R连续的最大拓扑2 、叙述“粘接引理”并给予证明. （ 1 0分）3、举例说明在一般拓扑空间中不能用序列收敛的性质来刻画映射的连续性.（14分） 四、证明题（本大题共 3 题，共26 分 ）1、证明单位圆周Si和球面S2不同胚.（6分）2、证明实数空间R是连通空间.（10分）3、设X和Y是两个拓扑空间，f :X - Y,证明以下条件等价：（10分）（1）f 连续.（2）对Y的任意子集B 都有f -1（B。） C （f -i（B）。.1、B 2、C 3、A 4、D 5、C 6、A 7、B 8、D1、7 2、x 3、x 4、7 5、x 6、7 7、7 8、x1、设X是拓扑空间，R是X上的一个等价关系；验证T = V C X / R I p-1(V )是X 中的开集是商集X/R上的拓扑，并证明T是使自然映射p : X - X / R连续的最大拓扑.(10分)证明：先证T是商集X/R上的拓扑；事实上，因为 p-i(0)=札 p-1( X / R) = X / R，所以 0, X / R G T ；设 U, V G T,由 T 的 定义知，p-i(U), p-i(V)都是X中的开集，从而p-i(U AV) = p-i(U) Ap-i(V)是X中的开集， 即 U A V G T ； T C T，因为 0 V G T , p-i(V)是 X 中的开集，于是 p-i(U V) = Up-i(V)11V G T1V G T1是X中的开集，即UVG T.VGT1下面证明T是使自然映射p : X - X /R连续的最大拓扑；事实上，设t是商集X/R是使自然映射连续的任一映射；对0 V G t，则p-i(V)是X中 的开集，由T的定义知，V G T,于是t C T .2、叙述“粘接引理”并给予证明.(i0分)粘接引理：设A和B是拓扑空间X中的两个开集(闭集)，且X = AUB . Y是一拓扑间，1: A 一Y,f : B 一 Y是两个连续映射,并且满足条件f I = f I，定义映射f : X 一 Y21 AA B2 AA B如下： f (x) x G A f (x)f (x) x G B则 f 是一个连续映射.证明：首先、由条件知f的定义是确切的.其次、对Y的任意子集乙因为f -i(Z) = f -i(Z) A A且f -i(Z) = f -i(Z) A B，所以12f-i(Z)= f-i(Z)U f-i(Z)12最后，对Y的任一开集U，因为f , f都连续，于是f -i(U), f -i(U)分别是A和B中的1 2 1 2开集， 由于 A 和 B 都是开集， 所以 f-i(U), f-i(U) 也都是 X 中的开集， 从而12f -i(u) = f -i(u) U f -i(u)是X中的开集，故f是连续映射.123、举例说明在一般拓扑空间中不能用序列收敛的性质来刻画映射的连续性.(i4分)答：设X和Y是拓扑空间，xG X，若X中的序列x 收敛于x，贝U映射f : X Y在x n处连续蕴含Y中的序列f (x )收敛于f (x)，但反之不成立.n事实上，(i)假设X是可数补空间，则X中的序列x 收敛于xo存在正整数M，当nM n时x = x .必要性显然，下面只证充分性；假设x f x，则D = x 1 x工x，n E Z 是一个可nnn n+数集，于是D是x是的一个开邻域，从而存在正整数M,当nM时，有x C D，即有x = x .nn(2)设X是实数集做成的可数补空间，i: X - R是X到实数空间R上的恒同映射，取X 中的序列x ，并设x 收敛于x，由(1)知，存在正整数M,当nM时，x = x ；因为 nnni(x ) = x = x = i(x) (n M)，所以序列i(x )在R中也收敛.但是，因为每个包含i(x)的开n nn区间U (U丰R)，i-i(U)不能作为X中任何一点的邻域，因而说明i在x处不连续.1、证明：假设Si和S2同胚，则存在同胚映射f : Si f S2，在Si任取两点a， b (a工b)，则 f |:S1a,bfS2f(a),f(b) 也 是 同 胚 映 射 ， 但 S1a,b 不 连 通 而Sia,bS2 f(a), f(b) 连通，这于连通性是拓扑不变性矛盾。2、证明：假设R不连通，则R有两个非空闭子集A和B，使得R =A U B且An B=Q，V a G A, b G B，记 A = Ana, b, B = B na, b，则 A UB = a, b且 A DB = Q ;因为i1i ii ib是A的上界，所以A有上确界b，且由A是闭集知b G A ；如果b = b则有iiii iib G A D B = Q，矛盾，所以b b，从而(b , b C B ；又因为B是闭集，所以b G B ；i i iiiiii i即b G A D B，这与A D B = Q矛盾.i i ii i3、设X和Y是两个拓扑空间，f :X Y，证明下面两个条件等价：(10分)(1) f连续.(2)对Y的任意子集B，都有f -1(B。) C (f -1(B)。.证明：1) 3 2)设B是Y的任一子集，因为B。C B，所以f -1(Bo) C f -1(B)，由f连续知 f -1(B。)是开集，因而 f -1(B。) C (f -1(B)o.2) 3 1)设 u 是 Y 中的任一开集，因为U。= U，由(2)知f -1(U) = f -1(U。)C (f -1(U)o，反之显然f -1(U) D (f -1(U)o，从而f -1(U) = (f -1(U)o，即f -1(U)是开集；这说明f是连续映射.