第七章随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布二项分布学习目标素养要求1.通过具体实例了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征数学抽象2.能用二项分布解决简单的实际问题数学建模自学导引(1)只包含_可能结果的试验叫做伯努利试验(2)将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为_伯努利试验两个n重伯努利试验的概念n重【预习自测】思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响()(2)在n重伯努利试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同()(3)在独立重复试验中，每次试验只有发生和不发生两种情况()【答案】(1)(2)(3)(1)同一个伯努利试验重复做n次(2)各次试验的结果相互独立【预习自测】n重伯努利试验的特征定义中“重复”的含义是什么？提示：“重复”意味着各次试验成功的概率相同(1)一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(Xk)Cpk(1p)nk，k0，1，2，n.若随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X_(2)一般地，可以证明：如果XB(n，p)，那么E(X)np，D(X)_B(n，p)二项分布np(1p)【预习自测】你能说明两点分布与二项分布之间的关系吗？提示：两点分布是特殊的二项分布，即在XB(n，p)中，当n1时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式课堂互动判断下列试验是不是n重伯努利试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球题型1n重伯努利试验的判断解：(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验n重伯努利试验的判断依据(1)要看该实验是不是在相同的条件下可以重复进行(2)每次试验相互独立，互不影响1下列事件：运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标其中是n重伯努利试验的是()ABCD【答案】D【解析】符合互斥事件的概念，是互斥事件；是相互独立事件；是n重伯努利试验某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率是0.5(相互独立).(1)求至少3人同时上网的概率；(2)至少几人同时上网的概率小于0.3?题型2n重伯努利试验的概率的求法n重伯努利试验概率求解的关注点(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式(2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率题型3二项分布的均值与方差解决此类问题第一步是判断随机变量服从什么分布，第二步代入相应的公式求解若服从两点分布，则D()p(1p)；若服从二项分布，即B(n，p)，则D()np(1p).3(2023年贵阳期末)某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占40%，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(可将频率近似等于概率).(1)求抽取到的问卷中至少有2份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；(2)记抽取到的问卷中调查结果为睡眠时间少于7小时的问卷份数为X，求X的分布列及均值E(X).9粒种子分别种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列易错警示审题不清致误易错防范：每粒种子发芽的概率与每坑不需要补种的概率混淆致误素养达成1(多选)下列试验不是n重伯努利试验的有()A依次投掷四枚质地不同的硬币B某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次C口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球D小明做10道难度不同的数学单选题【答案】ACD【解析】对于A，由于试验的条件不同(硬币质地不同)，因此不是n重伯努利试验；对于B，某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验；对于C，每次抽取，每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验；对于D，10道题难度不同，每道题做对的概率也不同，因此不是n重伯努利试验故选ACD2(题型2)若XB(5，0.1)，则P(X2)等于()A0.665B0.008 56C0.918 54D0.991 44【答案】D3(题型3)某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是()Anp(1p)BnpCnDp(1p)【答案】B【解析】依题意知，用电单位个数XB(n，p)，E(X)np.4(题型3)(2022年潍坊期末)已知随机变量B(12，p)，且E(23)5，则D(3)等于_【答案】24