第七章随机变量及其分布7.5正态分布学习目标素养要求1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量，通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征数学抽象2.了解正态分布的均值、方差及其含义数据分析自学导引正态曲线正态密度函数正态曲线【预习自测】思维辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量()(2)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述.()【答案】(1)(2)(1)正态密度函数f(x)的图象在x轴上方，x轴和正态曲线之间的区域的面积为1.(2)曲线是单峰的，它关于直线_对称(3)曲线在x处达到峰值_(4)当|x|无限增大时，曲线_x轴.x正态曲线的特点无限接近【预习自测】参数和对正态曲线的形状有什么影响？提示：1.为位置参数当参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图1.2为形状参数参数的大小决定了曲线的高低和胖瘦，因此的变化影响曲线的形状越小，曲线越“瘦高”，表示随机变量的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示随机变量的分布越分散，如图2.(1)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(，2)，特别地，当_时，称随机变量X服从标准正态分布(2)若XN(，2)，则E(X)_，D(X)_0，1正态分布的期望与方差2【答案】C取值的概率(1)P(X)_；(2)P(2X2)_；(3)P(3X3)_在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量X只取_中的值，这在统计学中称为3原则0.682 7正态变量在三个特殊区间内0.954 50.997 33，3【预习自测】已知随机变量服从正态分布N(1，4)，则P(35)()(参考数据：P()0.682 7，P(22)0.954 5，P(33)0.997 3)A0.682 7B0.954 5C0.002 7D0.997 3【答案】B【解析】由N(1，4)知，1，2，23，25，P(35)P(22)0.954 5.课堂互动题型1正态曲线的图象及性质【答案】【解析】由正态分布密度曲线可知12，所以P(Y2)P(Y1)，正确；由正态分布密度曲线可知1P(X1)，错误；对于任意的正数t，由图象知P(Xt)表示的面积始终大于P(Yt)表示的面积，所以P(Xt)P(Yt)，正确1以下是关于正态密度曲线性质的叙述：(1)曲线关于直线x对称，这个曲线在x轴的上方；(2)曲线关于直线x对称，这个曲线只有当x(3，3)时才在x轴上方；(3)曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；(4)曲线在x时处于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；(5)曲线的对称轴由确定，曲线的形状由确定；(6)越大，曲线越尖陡，越小，曲线越扁平其中说法正确的有_(填序号).【答案】(1)(4)(5)【解析】直接根据正态密度曲线的性质作出判断(2)(3)(6)不符合上述性质，故错误设N(1，22)，试求：(1)P(13)；(2)P(35).解：N(1，22)，1，2.(1)P(13)P(1212)P()0.682 7.题型2利用正态分布的对称性求概率【例题迁移1】(改变问法)例2条件不变，求P(5).【例题迁移2】(变换条件，改变问法)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)()A0.6B0.4C0.3D0.2【答案】C【解析】随机变量X服从正态分布N(2，2)，2，对称轴是直线x2.P(4)0.8，P(4)P(0)0.2，P(04)0.6.P(02)0.3.利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x对称的，且概率的和为1，故关于直线x对称的区间上概率相等如：P(Xa)1P(Xa)；P(Xa)P(Xa).(2)“3”法：利用X落在区间，2，2，3，3内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解2设N(1，1)，试求：(1)P(02)；(2)P(23)；(3)P(3).解：N(1，1)，1，1.(1)P(02)P(1111)P()0.682 7.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径如表所示(单位：m).题型3正态分布的综合应用(1)计算平均值与标准差.(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(，2).该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：m)：86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？序号12345内径979798102105序号678910内径107108109113114则P(3Z3)P(87Z123)0.997 3，零件内径在(87，123之外的概率大约只有0.002 7，而86(87，123，根据3原则，机器异常，需要进一步调试解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(，(2，2，(3，3三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想3某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布XN(50，102)，求他在(30，60分内赶到火车站的概率已知随机变量X服从500，20的正态分布，求X在(500，520)的取值概率错解：由已知XN(500，202)，则P(500X520)P(X)0.682 7.易错警示不能准确理解字母的含义致误素养达成1理解正态分布的概念和正态曲线的性质2正态总体在某个区间内取值的概率求法：(1)利用P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值求解【答案】B2(题型1)(多选)某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由图示曲线知下列说法中正确的是()A甲科总体的标准差最小B丙科总体的平均数最小C乙科总体的标准差及平均数都最大D甲、乙、丙的总体的平均数相同【答案】AD【解析】由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由分布密度曲线的性质，可知越大，正态曲线越扁平；越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙故选AD3(题型2)设随机变量服从标准正态分布N(0，1)，若P(1)0.84，则P(10)等于()A0.16B0.32C0.34D0.68【答案】C【解析】N(0，1)，又P(1)0.84，P(1)10.840.16.P(1)0.16.P(10)0.50.160.34.4(题型3)(2023年泰安模拟)随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的职业规划之一当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分已知某市2022年共有10 000人参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩(满分100分)作为样本，整理得到如下频数分布表：笔试成绩X 40，50)50，60)60，70)70，80)80，90)90，100人数51025302010由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布N(，2)，其中，近似为100名样本考生笔试成绩的平均值(同一组的数据用该组区间的中点值代替)，则_若12.9，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数约为 _(结果四舍五入精确到个位)【答案】731 5875(题型2)设随机变量XN(2，9)，求P(4X8).解：由题意知，2，3.P(4X8)P(223X223)0.954 5.