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12.3.1 等腰三角形第1课时花地中学 古瑜青 教学内容 本节主要内容是等腰三角形的性质 教学目标 1知识与技能 在观察、操作中认识等腰三角形的性质,感受等腰三角形“三线合一”的意义 2过程与方法 经历探索等腰三角形性质的过程,掌握其应用方法 3情感、态度与价值观 让学生感悟等腰三角形的实际应用价值,激发他们的求知欲 重、难点与关键 1重点:等腰三角形的性质 2难点:等腰三角形的性质2的应用 3关键:借助轴对称变换来研究等腰三角形 教具准备 剪刀、长方形纸片 教学方法 采用“情境探究”式教学方法 教学过程 一、操作观察,探索新知 【问题探究】 教师叙述:请同学们把一张长方形的纸对折(如课本图1431)剪去一个角,再把它展开,得到的三角形有什么特点? 【学生活动】拿出事先准备好的纸和剪刀,动手操作,然后观察得出结论:“剪刀剪过的两条边是相等的”【师生共识】有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,相等的两边叫做腰,另一条边叫做底,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角【媒体使用】投影显示课本图1231和图1 【教学形式】操作引入,师生互动 【继续探究】 上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗? 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折,找出其中重合的线段和角,填入下表:重合的线段重合的角 你能发现等腰三角形的性质吗?说一说你的猜想 【教师活动】操作投影仪,提出探究的问题,引导学生观察,发现 【学生活动】动手操作、观察,发现重合的线段是AB=AC,BD=CD,底边上的高、顶角的平分线,底边上的中线重合重合的角是B=C,BAD=CADADB=ADC=90【媒体使用】投影显示“思考题”和图2 【形成性质】 性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”);性质2:等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线、底边上的高相互重合【证明】如课本图1232,ABC中,AB=AC,作底边BC的中线AD BADCAD(SSS) B=C, BD=CD, BDA=CDA=90 【评析】从这个证明也可以看出,等腰三角形底边上的中线的左、右两部分经翻转可以重合,等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴 【教师活动】引导学生共同完成等腰三角形性质的推理证明 【学生活动】同教师一起分析、口述证明思路后,个别学生上台演示 二、范例点击,应用所学【例1】如课本图123-3,在ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求ABC各角的度数 【思路点拨】首先应用等腰三角形的性质得到ABC=C=BDC,A=ABD,再运用三角形内角和定理求解A=36,ABC=C=72,这里可以运用代数的方法列式求解方程 【教师活动】操作投影,分析例1,讲明推理的方法 【学生活动】参与教师的讲例分析中,踊跃发表自己的见解,并尝试用不同于课本例1的推理表达来书写例题1的解答不设A=x,然后相互讨论、比较【教学形式】在教师引导下合作交流 【猜想】猜想一下,等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?如图3,你可以将等腰三角形ABC沿对称轴AD,观察DE与DF的关系 如果DE、DF分别是AB、AC上的中线或ADB、ADC的平分线,它们还相等吗?由等腰三角形是轴对称图形,利用类似的方法,还可以得到等腰三角形中哪些线段相等? 【教师活动】操作投影仪,提出讨论的问题,引导学生思考 【学生活动】分四人小组合作交流,通过动手操作,感悟规律 (1)等腰三角形底边中点到两腰的距离相等,也可以应用“AAS”证明BDECDF(2)如果DE,DF分别是AB,AC上的中线或ADB,ADC的平分线,它们仍然相等,这是运用轴对称图形的概念和性质得到结论,还可以通过三角形全等予以证明(3)由等腰三角形是对称轴图形,利用类似的方法,还可以得到:等腰三角形对称轴上任意一点到两腰的距离相等;等腰三角形顶点到两腰上的中点(高线),底角的平分线的距离相等;等腰三角形两腰上的中线(高线)的交点到两腰的距离相等;等腰三角形两底角的平分线交点到两腰的距离相等 三、随堂练习,巩固深化 课本P51练习第1、2、3题 【探研时空】已知:如图4所示,ABC是等腰直角三角形,A=90,BD是角的平分线,DEBC于E,若BC=10cm,求DEC的周长 【思路点拨】如图4,在等腰直角三角形中,可以找到许多重要的等量关系,这些关系通过证明应逐步认识,A=90,ABC=C=45,AB=AC,又由BD平分ABC,DEBC可知ABD=CBD=22.5,AD=DE,ABDEBD,则BE=AB=AC,再由DEC=90,C=45,可知ECD是等腰直角三角形,则DE=EC,在这个图形中,应注意BD是角的平分线,而不是中线,所以ADDC,由上述关系就可求得DEC的周长为10cm 【评析】有些常见图形中的数量关系应该逐步记住,如本题思路点拨中分析图中的各种关系都应记清,这样就有利于今后证明及计算有关问题 四、课堂总结,发展潜能 提问:1什么叫做等腰三角形? 2等腰三角形有哪些性质? 3你对本节课中等腰三角形与轴对称概念的联系有何体会 五、布置作业,专题突破 1课本P56习题123第1、2、3、4、12题 2选用课时作业设计 板书设计 把黑板分成三等份,左边板书概念,中间板书例1,右边板书练习 疑难解析 已知:如图5,ABAC,BD是ABC的平分线,AD=DC,求证:A+C=180思路点拨:在三角形全等的判定中,要注意两边及两边所夹的角相等,两个三角形全等,而两边及其中一边的对角相等,两个三角形不一定全等本题中ABD与CBD正是这种情况:BD=BD,AD=DC,ABD=CBD,但ABD与CBD并不全等,这样两个不全等的三角形有什么联系呢?在BC上截取BE=BA,则BDC被分成两个三角形,容易看到,BDE与BDA全等,DEC是等腰三角形,这样问题就解决了 从这个例子可以归纳出,记住一些基本图形对于证明几何题是必要的,本题如果能深刻认识两边与其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等的关系,那么图中添加DE这条辅助线就十分自然了第一课时作业设计一、选择题1如果等腰三角形的底边长大于腰长,那么这个等腰三角形的顶角是( ) A锐角 B直角 C钝角 D锐角、直角或钝角2等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( ) A顶角 B顶角的一半 C顶角的2倍 D底角的一半3在等腰三角形ABC中,AB=AC,BAC=50,P是ABC内一点,且PBC=ACP,则BPC为( ) A100 B140 C130 D1154如图,AB=AC=BD,那么1与2之间的关系满足( ) A1=22 B21+2=180C1+32=180 D31-2=180二、证明题5如图,AB=AC,BD=DC,AD的延长线交BC于点E,求证:AEBC6你能证明:等腰三角形两腰上的中线相等吗?试一试! (要求:依题意先画图,写出已知、求证,然后再证明)三、探索题7已知:如图,点D、E在ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE请将此题改编为两道题,要求原题中的“BD=CE”成为已知条件之一,而原已知条件中的某一部分成为求证,并简要说明改编所得到的每一道题的证明方法四、聚焦中考8如图,AB=AE,ABC=AED,BC=ED,点F是CD的中点 (1)求证:AFCD; (2)在你连接BE后,还能得出什么新的结论?请写出三个(不要求证明)
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