2.4（1）基本不等式及其应用一、教学内容分析基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的.二、教学目标设计1、掌握两个基本不等式：（、）、（、为任意正数），并能用于解决一些简单问题.2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法.3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化等辨证唯物主义观点.三、教学重点及难点重点 两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用.难点 基本不等式的应用.四、教学用具准备 电脑、投影仪五、教学过程设计一、新课引入在客观世界中，有些量的大小关系是永远成立的.例如，、（）、三角形任意两边之和大于第三边、三角形任意两边之差小于第三边等等.二、新课讲授探究：2002届数学大会的会徽怎样的？三国时期赵爽在勾股方圆图注中对勾股定理的证明可用现代数学表述为：如图所示，以、分别表示勾、股、弦，那么，表示“弦图”中两块“朱实”的面积，表示“中黄实”的面积. 于是，从图中可明显看出，四块“朱实”的面积加上一个“中黄实”的面积就等于以为边长的正方形“弦实”的面积，即这就是勾股定理的一般表达式.由图可知：以为边长的正方形“弦实”的面积 四块“朱实”的面积即，（当且仅当时等号成立）.1、基本不等式1基本不等式1 对于任意实数和，有，当且仅当时等号成立.基本不等式1的证明证明：因为，所以. 当时，.当时，.所以，当且仅当时，的等号成立.2、基本不等式2基本不等式2 对于任意正数、，有，当且仅当时等号成立.我们把和分别叫做正数、的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（1）基本不等式2的证明证明：因为，所以. 当时，.当时，.所以，当且仅当时，的等号成立.另证：因为、为正数，所以、均存在. 由基本不等式1，得，当且仅当时等号成立. 即，当且仅当时等号成立.（2）基本不等式2的扩充 对于任意非负数、，有，当且仅当时等号成立.例1 已知，求证：，并指出等号成立的条件.证明：因为，所以 、同号，并有，.所以，.当且仅当 ，即时等号成立.说明1、体会代换的方法.2、用语言表述上述结论.3、思考：若，则代数式的取值范围是什么？（，当且仅当时等号成立.）例1、判断下列说法是否正确，并说明理由（1）对于任意的a，b,（2）若x0，则x2(3)若ab3，则a2b22；（4）若xR，则例2、若 ,求 的最小值.变1:若 ，求 的最小值.变式1:已知 ,求函数 的最大值.变3:若 ,求 的最小值.例3、已知 ,求函数 的最大值 变2:若 ,求 的最小值.三、课堂小结基本知识：重要不等式，基本不等式 思想方法：数形结合核心素养：数学抽象、数学运算四、作业布置1、练习2.4（1）习题2.4：1，2五、 教学新发现学生对于基本不等式的应用条件“一正、二定、三相等”缺一不可，学生易忽略一定，三相等更易忽略。