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1. 2.1任意角的三角函数【教学目标】(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法;(3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;(4)掌握并能初步运用公式一;(5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.【教学重难点】重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一).难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);三角函数线的正确理解.【教学过程】y P(a,b) r O M一、【创设情境】提问:锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示?借助右图直角三角形,复习回顾.引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那a的终边P(x,y)Oxy么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则; .思考:对于确定的角,这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢?显然,我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:; ; .思考:上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?本节课就研究这个问题任意角的三角函数.二、【探究新知】1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦(sine),记做,即;(2)叫做的余弦(cossine),记做,即;(3)叫做的正切(tangent),记做,即.注意:当是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在);当不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点,从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,.所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表;再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中:三角函数定义域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制弧度制5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一: (其中)6.三角函数线设任意角的顶点在原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点,过作轴的垂线,垂足为;过点作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线交与点.()()()()由四个图看出:当角的终边不在坐标轴上时,有向线段,于是有 我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.7.例题讲解例1已知角的终边经过点,求的三个函数制值。解: 变式训练1:已知角的终边过点,求角的正弦、余弦和正切值.解:,. 例2求下列各角的三个三角函数值: (1); (2); (3) 解:(1)sin0=0 cos0=1 tan0=0 (2) (3) 变式训练2:求的正弦、余弦和正切值. 例3已知角的终边过点,求的三个三角函数值. 解析:计算点到原点的距离时应该讨论a的正负. 变式训练3: 求函数的值域.解析:分四个象限讨论.答案:2,-2,0 例4.利用三角函数线比较下列各组数的大小: 1.与 2.tan与tan 三、【学习小结】(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?(3)请写出各三角函数的定义域;(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?(5)三角函数线的做法.四、【作业布置】作业:习题1.2 A组第1,2题 五、【板书设计】 1.2.1任意角的三角函数(一)复习引入(二) 概念形成 1.三角函数定义 2.三角函数线(三)例题讲解 小结:1.21任意角的三角函数课前预习学案一、预习目标: 1.了解三角函数的两种定义方法; 2.知道三角函数线的基本做法.二、预习内容: 根据课本本节内容,完成预习目标,完成以下各个概念的填空.三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法;(3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;(4)掌握并能初步运用公式一;(5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.二、重点、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一).难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);三角函数线的正确理解.三、学习过程(一)复习:1、初中锐角的三角函数_2、在RtABC中,设A对边为a,B对边为b,C对边为c,锐角A的正弦、余弦、正切依次为_(二)新课:1三角函数定义在直角坐标系中,设是一个任意角,终边上任意一点(除了原点)的坐标为,它与原点的距离为,那么(1)比值_叫做的正弦,记作_,即_(2)比值_叫做的余弦,记作_,即_(3)比值_叫做的正切,记作_,即_;2三角函数的定义域、值域函 数定 义 域值 域3三角函数的符号由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:正弦值对于第一、二象限为_(),对于第三、四象限为_();余弦值对于第一、四象限为_(),对于第二、三象限为_();正切值对于第一、三象限为_(同号),对于第二、四象限为_(异号)4诱导公式 由三角函数的定义,就可知道:_即有:_ _ _5当角的终边上一点的坐标满足_时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示三角函数线。 设任意角的顶点在原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点过作轴的垂线,垂足为;过点作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线交与点.()()()() 由四个图看出:当角的终边不在坐标轴上时,有向线段,于是有,_ ,_我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。(三)例题 例1已知角的终边经过点,求的三个函数制值。变式训练1:已知角的终边过点,求角的正弦、余弦和正切值. 例2求下列各角的三个三角函数值:(1); (2); (3) 变式训练2:求的正弦、余弦和正切值. 例3已知角的终边过点,求的三个三角函数值。 变式训练3: 求函数的值域 例4.利用三角函数线比较下列各组数的大小: 1. 与 2. tan与tan (四)、小结课后练习与提高一、选择题1. 是第二象限角,P(,)为其终边上一点,且,则的值为( )A. B. C. D. 2. 是第二象限角,且,则是( ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角3、如果那么下列各式中正确的是( )A. B. C. D. 二、填空题4. 已知的终边过(9,)且,则的取值范围是 。5. 函数的定义域为 。6. 的值为 (正数,负数,0,不存在)三、解答题7.已知角的终边上一点P的坐标为()(),且,求
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